関数 $f(x) = 8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = 2^x + 2^{-x}$ とおくとき、$4^x + 4^{-x}$ および $8^x + 8^{-x}$ を $t$ を用いて表します。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (3) $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = 2^x + 2^{-x}$ とおくとき、$4^x + 4^{-x}$ および $8^x + 8^{-x}$ を $t$ を用いて表します。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(3) $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t = 2^x + 2^{-x}$ であるから、

$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$

よって、

$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$

$t^3 = (2^x + 2^{-x})^3 = (2^x)^3 + 3(2^x)^2(2^{-x}) + 3(2^x)(2^{-x})^2 + (2^{-x})^3 = 8^x + 3(2^x) + 3(2^{-x}) + 8^{-x} = 8^x + 8^{-x} + 3(2^x + 2^{-x})$

よって、

$8^x + 8^{-x} = t^3 - 3t$

(2) 相加平均・相乗平均の関係より、

$t = 2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

等号成立は $2^x = 2^{-x}$、つまり $x=0$ のとき。

したがって、$t \ge 2$。

(3) $f(x) = 8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x} = (8^x + 8^{-x}) + (4^x + 4^{-x})$

(1) の結果より、

$f(x) = (t^3 - 3t) + (t^2 - 2) = t^3 + t^2 - 3t - 2$

$g(t) = t^3 + t^2 - 3t - 2$ とおくと、$t \ge 2$ における $g(t)$ の最小値を求めれば良い。

$g'(t) = 3t^2 + 2t - 3$

$g'(t) = 0$ となるのは、$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-3)}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$

$t \ge 2$ より、$t = \frac{-1 + \sqrt{10}}{3}$ は不適。

$t \ge 2$ において $g'(t) > 0$ なので、$g(t)$ は単調増加。

したがって、$g(t)$ は $t=2$ で最小値をとる。

$g(2) = 2^3 + 2^2 - 3(2) - 2 = 8 + 4 - 6 - 2 = 4$

$t=2$ のとき、$2^x = 2^{-x}$ より $x=0$。

3. 最終的な答え

(1) $4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$, $8^x + 8^{-x} = t^3 - 3t$

(2) $t \ge 2$

(3) $f(x)$ の最小値は $4$, そのときの $x$ の値は $0$