与えられた2つの関数について、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x - 1$ (2) $f(x) = (3x + 2)^4$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、それぞれの導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x - 1$

(2) $f(x) = (3x + 2)^4$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x - 1$ の導関数を求めるには、各項を微分します。

定数項の微分は0です。 $x^n$ の微分は $nx^{n-1}$ であることを用います。

$\frac{d}{dx}(\frac{2}{3}x^3) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 = 2x^2$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x) = \frac{1}{2}$

$\frac{d}{dx}(-1) = 0$

したがって、$f'(x) = 2x^2 + \frac{1}{2}$

(2) $f(x) = (3x + 2)^4$ の導関数を求めるには、合成関数の微分（チェーンルール）を用います。

$u = 3x + 2$ とすると、$f(x) = u^4$ となります。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = 4u^3 = 4(3x + 2)^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x + 2) = 3$

したがって、$f'(x) = 4(3x + 2)^3 \cdot 3 = 12(3x + 2)^3$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 2x^2 + \frac{1}{2}$

(2) $f'(x) = 12(3x + 2)^3$