次の関数を微分せよ。 (1) $y = xe^{-x}$ (3) $y = \frac{\log x}{x}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = xe^{-x}$

(3) $y = \frac{\log x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = xe^{-x}$ を微分する。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用する。

$u = x$, $v = e^{-x}$ とすると、$u' = 1$, $v' = -e^{-x}$ となる。

よって、

$\frac{dy}{dx} = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$.

(3) $y = \frac{\log x}{x}$ を微分する。

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用する。

$u = \log x$, $v = x$ とすると、$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$ となる。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x)'x - (\log x)(x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\log x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (1-x)e^{-x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \log x}{x^2}$