与えられた図形において、$x$ と $y$ の値を求めよ。図形は相似な三角形で構成されており、辺の長さが与えられている。

1. 問題の内容

与えられた図形において、$x$ と $y$ の値を求めよ。図形は相似な三角形で構成されており、辺の長さが与えられている。

2. 解き方の手順

まず、一番上の直角三角形に着目する。斜辺の長さは9であり、その三角形の一辺の長さも9である。$x$はその直角三角形の斜辺から長さが9である辺を引いたものと考えることができる。

次に、3つの三角形が相似であることを利用する。

一番上の三角形の辺の比は 9:9 (直角を挟む辺) である。

中間の三角形の対応する辺の長さは9である。

一番下の三角形の底辺の長さは15である。

一番上の三角形の斜辺を$h_1$とすると、ピタゴラスの定理より、

$h_1^2 = 9^2 + 9^2$

$h_1^2 = 81 + 81 = 162$

$h_1 = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$

よって、$x = 9\sqrt{2} - 9$

次に、相似比を利用して$y$を求める。

一番上の三角形と中間の三角形の相似比は、直角を挟む辺の比から 9:9 つまり1:1。

一番上の三角形と一番下の三角形の相似比は、直角を挟む辺の比から 9:15 = 3:5。

一番上の三角形の直角を挟む辺の長さを$a=9$とする。

一番下の三角形の対応する辺の長さを$b$とすると、$b=15$。

$y$は一番下の三角形の直角を挟むもう一つの辺に対応する。一番上の三角形の直角を挟むもう一つの辺は9なので、

$9:y = 3:5$

$3y = 45$

$y = 15$

3. 最終的な答え

$x = 9\sqrt{2} - 9$

$y = 15$