問題1では、与えられた複素数 $z$ と $w$ の積 $zw$ を計算します。具体的には、以下の3つの場合について、$zw$を求めます。 (1) $z = \cos\frac{2\pi}{5} + i\sin\frac{2\pi}{5}$, $w = \cos\frac{\pi}{10} + i\sin\frac{\pi}{10}$ (2) $z = 2(\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10})$, $w = 4(\cos\frac{7\pi}{15} + i\sin\frac{7\pi}{15})$ (3) $z = 2(\cos\frac{\pi}{15} + i\sin\frac{\pi}{15})$, $w = 3(\cos\frac{3\pi}{5} + i\sin\frac{3\pi}{5})$

1. 問題の内容

問題1では、与えられた複素数 $z$ と $w$ の積 $zw$ を計算します。具体的には、以下の3つの場合について、$zw$を求めます。

(1) $z = \cos\frac{2\pi}{5} + i\sin\frac{2\pi}{5}$, $w = \cos\frac{\pi}{10} + i\sin\frac{\pi}{10}$

(2) $z = 2(\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10})$, $w = 4(\cos\frac{7\pi}{15} + i\sin\frac{7\pi}{15})$

(3) $z = 2(\cos\frac{\pi}{15} + i\sin\frac{\pi}{15})$, $w = 3(\cos\frac{3\pi}{5} + i\sin\frac{3\pi}{5})$

2. 解き方の手順

複素数の積は、それぞれの絶対値を掛け、偏角を足し合わせることで求めることができます。つまり、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$、 $w = \rho(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ ならば、$zw = r\rho(\cos(\theta+\varphi) + i\sin(\theta+\varphi))$となります。

(1) $z = \cos\frac{2\pi}{5} + i\sin\frac{2\pi}{5}$, $w = \cos\frac{\pi}{10} + i\sin\frac{\pi}{10}$

$zw = \cos(\frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{10}) + i\sin(\frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{10}) = \cos(\frac{4\pi}{10} + \frac{\pi}{10}) + i\sin(\frac{4\pi}{10} + \frac{\pi}{10}) = \cos\frac{5\pi}{10} + i\sin\frac{5\pi}{10} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i(1) = i$

(2) $z = 2(\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10})$, $w = 4(\cos\frac{7\pi}{15} + i\sin\frac{7\pi}{15})$

$zw = 2 \cdot 4 [\cos(\frac{7\pi}{10} + \frac{7\pi}{15}) + i\sin(\frac{7\pi}{10} + \frac{7\pi}{15})] = 8[\cos(\frac{21\pi}{30} + \frac{14\pi}{30}) + i\sin(\frac{21\pi}{30} + \frac{14\pi}{30})] = 8(\cos\frac{35\pi}{30} + i\sin\frac{35\pi}{30}) = 8(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$

$= 8(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -4\sqrt{3} - 4i$

(3) $z = 2(\cos\frac{\pi}{15} + i\sin\frac{\pi}{15})$, $w = 3(\cos\frac{3\pi}{5} + i\sin\frac{3\pi}{5})$

$zw = 2 \cdot 3 [\cos(\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{5}) + i\sin(\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{5})] = 6[\cos(\frac{\pi}{15} + \frac{9\pi}{15}) + i\sin(\frac{\pi}{15} + \frac{9\pi}{15})] = 6(\cos\frac{10\pi}{15} + i\sin\frac{10\pi}{15}) = 6(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$

$= 6(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -3 + 3\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

(1) $zw = i$

(2) $zw = -4\sqrt{3} - 4i$

(3) $zw = -3 + 3\sqrt{3}i$