2次関数 $y = -2x^2 + 10x + 3$ のグラフの頂点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 10x + 3$ のグラフの頂点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数を平方完成して頂点の座標を求める。

まず、$x^2$ の係数で $x$ の項までを括る。

$y = -2(x^2 - 5x) + 3$

次に、括弧の中を平方完成させる。$x$ の係数の半分である $-\frac{5}{2}$ を用いる。

$y = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3$

$y = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{25}{4}\right) + 3$

$y = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{2} + 3$

$y = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{2} + \frac{6}{2}$

$y = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{31}{2}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{5}{2}, \frac{31}{2}\right)$ である。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $\left(\frac{5}{2}, \frac{31}{2}\right)$