次の計算問題を解く。 $\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\sqrt{6}) \div (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} - \frac{3}{\sqrt{8}})$

1. 問題の内容

次の計算問題を解く。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\sqrt{6}) \div (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} - \frac{3}{\sqrt{8}})$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算する。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} - \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{4}$

次に、除算を計算する。

$-\sqrt{6} \div (\frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{4}) = -\sqrt{6} \times \frac{4}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{6}}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}$

分母を有理化する。

$\frac{-4\sqrt{6}}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{6}(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})} = \frac{-4\sqrt{6}(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2}$

$= \frac{-4\sqrt{6}(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{12 - 18} = \frac{-4\sqrt{6}(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{-6} = \frac{2\sqrt{6}(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{3} = \frac{4\sqrt{18} + 6\sqrt{12}}{3}$

$= \frac{4\cdot 3\sqrt{2} + 6\cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{12\sqrt{2} + 12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$

最後に、加算を計算する。

$\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\sqrt{6}) \div (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} - \frac{3}{\sqrt{8}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{2}}{2} + 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{2}}{2} + 4\sqrt{3}$