2桁の正の整数がある。その数の十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数を8倍した数と、元の整数との和は9の倍数になる。その理由を説明せよ。

1. 問題の内容

2桁の正の整数がある。その数の十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数を8倍した数と、元の整数との和は9の倍数になる。その理由を説明せよ。

2. 解き方の手順

まず、元の2桁の整数を $10a + b$ と表します。ここで、$a$ は十の位の数、$b$ は一の位の数であり、$a, b$ はともに1から9までの整数です。

次に、十の位と一の位を入れ替えた整数は $10b + a$ と表されます。

この入れ替えた整数を8倍したものは、$8(10b + a) = 80b + 8a$ となります。

問題文にあるように、8倍した数と元の整数の和は、$80b + 8a + 10a + b = 18a + 81b$ となります。

$18a + 81b$ を9でくくると、$9(2a + 9b)$ となります。

この式 $9(2a + 9b)$ は、$9$ と整数 $(2a + 9b)$ の積であるため、9の倍数であることがわかります。

3. 最終的な答え

元の2桁の整数を$10a + b$とすると、位を入れ替えた数を8倍した数と元の整数の和は$9(2a + 9b)$となり、これは9の倍数である。