与えられた式 $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成を用いて変形し、因数分解する。

まず、$x$の項と$y$の項をそれぞれ平方完成する。

$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$

したがって、与えられた式は次のように変形できる。

$x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 = (x - 2)^2 - 4 - (y + 3)^2 + 9 - 5$

$= (x - 2)^2 - (y + 3)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解の公式を利用できる。ここで、$A = x - 2$、$B = y + 3$ である。

したがって、

$(x - 2)^2 - (y + 3)^2 = (x - 2 + y + 3)(x - 2 - (y + 3))$

$= (x + y + 1)(x - y - 5)$

3. 最終的な答え

$(x + y + 1)(x - y - 5)$