問題は、式 $(x+y)(y+z)(z+x) + xyz$ を展開し、整理することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(x+y)(y+z)(z+x) + xyz$ を展開し、整理することです。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)(y+z)(z+x)$ を展開します。

\begin{align*}

(x+y)(y+z)(z+x) &= (x+y)(yz + yx + z^2 + zx) \\

&= xyz + x^2y + xz^2 + x^2z + y^2z + xy^2 + yz^2 + xyz \\

&= x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 2xyz

\end{align*}

次に、$x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 2xyz$ に $xyz$ を加えます。

\begin{align*}

x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 2xyz + xyz &= x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz

\end{align*}

最後に、因数分解を試みます。式を整理すると、以下のようになります。

$x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + zx^2 + 3xyz = (x+y)(y+z)(z+x) + xyz = (x+y+z)(xy+yz+zx)$

3. 最終的な答え

$(x+y+z)(xy+yz+zx)$