与えられた式 $2x^3 = \text{キ} + \text{クケ}(x-1) + \text{コサ}(x-1)(x-2) + \text{シ}(x-1)(x-2)(x-3)$ が任意の $x$ について成り立つとき、空欄「キ」、「クケ」、「コサ」、「シ」に入る数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^3 = \text{キ} + \text{クケ}(x-1) + \text{コサ}(x-1)(x-2) + \text{シ}(x-1)(x-2)(x-3)$ が任意の $x$ について成り立つとき、空欄「キ」、「クケ」、「コサ」、「シ」に入る数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この恒等式を解くために、$x$ に適切な値を代入して係数を決定します。

* $x=1$ を代入すると、

$2(1)^3 = \text{キ} + \text{クケ}(1-1) + \text{コサ}(1-1)(1-2) + \text{シ}(1-1)(1-2)(1-3)$

$2 = \text{キ}$

よって、キ = 2

* $x=2$ を代入すると、

$2(2)^3 = 2 + \text{クケ}(2-1) + \text{コサ}(2-1)(2-2) + \text{シ}(2-1)(2-2)(2-3)$

$16 = 2 + \text{クケ}(1) + 0 + 0$

$14 = \text{クケ}$

よって、クケ = 14

* $x=3$ を代入すると、

$2(3)^3 = 2 + 14(3-1) + \text{コサ}(3-1)(3-2) + \text{シ}(3-1)(3-2)(3-3)$

$54 = 2 + 14(2) + \text{コサ}(2)(1) + 0$

$54 = 2 + 28 + 2\text{コサ}$

$24 = 2\text{コサ}$

$\text{コサ} = 12$

よって、コサ = 12

* $x=0$を代入すると、

$2(0)^3 = 2 + 14(0-1) + 12(0-1)(0-2) + \text{シ}(0-1)(0-2)(0-3)$

$0 = 2 - 14 + 12(2) + \text{シ}(-1)(-2)(-3)$

$0 = 2 - 14 + 24 - 6\text{シ}$

$0 = 12 - 6\text{シ}$

$6\text{シ} = 12$

$\text{シ} = 2$

よって、シ = 2

3. 最終的な答え

キ = 2

クケ = 14

コサ = 12

シ = 2