与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた多項式を因数分解するために、まず$x$についての2次式として整理します。

$3x^2 + (-14y+13)x + (15y^2 - 23y + 4)$

次に、定数項 $15y^2 - 23y + 4$ を因数分解します。

$15y^2 - 23y + 4 = (3y - 4)(5y - 1)$

与えられた式を$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形に因数分解できると仮定します。

$3x^2 + (-14y+13)x + (15y^2 - 23y + 4) = (x + ay + b)(3x + cy + d)$ の形を考えます。定数項の因数分解の結果から、

$3x^2 + (-14y+13)x + (3y - 4)(5y - 1)$と表せます。

$3x^2$の係数は3なので、$x$の係数は1と3になるはずです。

また、$(3y-4)(5y-1)$から、 $y$の係数と定数項を推測します。

$(x + ay + b)(3x + cy + d) = 3x^2 + (c+3a)xy + (3b+d)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

$3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

係数を比較すると

$c+3a = -14$

$ac = 15$

$3b+d = 13$

$ad+bc = -23$

$bd = 4$

$3y-4$と$5y-1$から、$(3x+5y-1)(x+3y-4)$または$(3x+3y-4)(x+5y-1)$を試します。

$(3x+5y-1)(x+3y-4) = 3x^2 + 9xy - 12x + 5xy + 15y^2 - 20y - x - 3y + 4 = 3x^2 + 14xy + 15y^2 - 13x - 23y + 4$

これは条件を満たしません。

$(3x+3y+a)(x+5y+b)$ではなく$(3x+5y+a)(x+3y+b)$を試すことにします。

符号を考慮して、$(3x-5y+1)(x-3y+4) = 3x^2 - 9xy + 12x - 5xy + 15y^2 - 20y + x - 3y + 4 = 3x^2 -14xy + 13x + 15y^2 - 23y + 4$

$(3x-5y+1)(x-3y+4)$が条件を満たします。

3. 最終的な答え

$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$