与えられた複素数の計算問題を解きます。具体的には、複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算、および複素数の2乗の計算を行います。

はい、承知しました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題を解きます。具体的には、複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算、および複素数の2乗の計算を行います。

2. 解き方の手順

(1) $(2-3i) + (3+4i)$

実部と虚部をそれぞれ足し合わせます。

$2+3 + (-3+4)i = 5+i$

(2) $(4+i) - (2-7i)$

実部と虚部をそれぞれ引き算します。

$4-2 + (1-(-7))i = 2+8i$

(3) $(1+3i)(3-5i)$

複素数の掛け算を行います。

$1*3 + 1*(-5i) + 3i*3 + 3i*(-5i) = 3 - 5i + 9i - 15i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$3 + 4i - 15*(-1) = 3 + 4i + 15 = 18+4i$

(4) $(2+3i)^2$

$(2+3i)(2+3i)$ を計算します。

$2*2 + 2*(3i) + 3i*2 + 3i*3i = 4 + 6i + 6i + 9i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

(5) $\frac{1-i}{1+i}$

分母の共役複素数を分母分子にかけます。

$\frac{1-i}{1+i} * \frac{1-i}{1-i} = \frac{(1-i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$

(6) $\frac{1}{1+3i} + \frac{1}{1-3i}$

通分して計算します。

$\frac{1-3i}{(1+3i)(1-3i)} + \frac{1+3i}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{1-3i + 1+3i}{1 - (3i)^2} = \frac{2}{1 - 9i^2} = \frac{2}{1+9} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $5+i$

(2) $2+8i$

(3) $18+4i$

(4) $-5+12i$

(5) $-i$

(6) $\frac{1}{5}$