(1) 式 $(3x+7y)(9x^2-21xy+49y^2)$ を展開して、$ax^3 + by^3$ の形で表すとき、$a$と$b$を求めよ。 (2) 式 $(2x+3y)^5$ の展開式における、$xy^4$の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 式 $(3x+7y)(9x^2-21xy+49y^2)$ を展開して、$ax^3 + by^3$ の形で表すとき、$a$と$b$を求めよ。

(2) 式 $(2x+3y)^5$ の展開式における、$xy^4$の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(3x+7y)(9x^2-21xy+49y^2)$ を展開する。この式は $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の形をしていることに気づくと、$a = 3x$、$b = 7y$ である。よって、

$(3x)^3 + (7y)^3$

$= 27x^3 + 343y^3$

したがって、$x^3$の係数は27、$y^3$の係数は343である。

(2) $(2x+3y)^5$ の展開式における一般項は

$_5C_r (2x)^{5-r} (3y)^r$

ここで、$xy^4$ の係数を求めたいので、$r=4$のときを考える。

$_5C_4 (2x)^{5-4} (3y)^4 = _5C_4 (2x)^1 (3y)^4$

$= 5 \cdot 2x \cdot 81y^4 = 10 \cdot 81 xy^4 = 810 xy^4$

したがって、$xy^4$の係数は810である。

3. 最終的な答え

(1)

$x^3$の係数：27

$y^3$の係数：343

(2)

$xy^4$の係数：810