高さが8cmと10cmの相似な2つの円柱ウ、エがある。 (1) 円柱ウとエの相似比と体積の比を求めよ。 (2) 円柱ウの体積が$128\pi \text{cm}^3$であるとき、円柱エの体積を求めよ。

1. 問題の内容

高さが8cmと10cmの相似な2つの円柱ウ、エがある。

(1) 円柱ウとエの相似比と体積の比を求めよ。

(2) 円柱ウの体積が$128\pi \text{cm}^3$であるとき、円柱エの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 相似比は対応する辺の比である。ここでは高さの比が相似比となる。

相似比を計算し、体積比は相似比の3乗になることを利用する。

(2) 円柱ウの体積と円柱エの体積の比は(1)で求めた体積比に等しい。円柱ウの体積が与えられているので、円柱エの体積を計算する。

(1)

円柱ウと円柱エの相似比は、高さの比より

$8:10 = 4:5$

体積比は相似比の3乗なので、

$4^3:5^3 = 64:125$

(2)

円柱ウの体積を$V_ウ$、円柱エの体積を$V_エ$とすると、

$V_ウ : V_エ = 64:125$

$V_ウ = 128\pi \text{cm}^3$であるから、

$128\pi : V_エ = 64 : 125$

$V_エ = \frac{128\pi \times 125}{64} = 2\pi \times 125 = 250\pi$

3. 最終的な答え

(1) 相似比：4:5、体積比：64:125

(2) $250\pi \text{cm}^3$