3点 $A(3, 1)$, $B(6, -8)$, $C(-2, -4)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $A(3, 1)$, $B(6, -8)$, $C(-2, -4)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

点A, B, Cの座標をそれぞれの方程式に代入して、$l, m, n$ に関する連立方程式を立てて解きます。

点A(3, 1)を通るので、

$3^2 + 1^2 + 3l + m + n = 0$

$9 + 1 + 3l + m + n = 0$

$3l + m + n = -10$ ...(1)

点B(6, -8)を通るので、

$6^2 + (-8)^2 + 6l - 8m + n = 0$

$36 + 64 + 6l - 8m + n = 0$

$6l - 8m + n = -100$ ...(2)

点C(-2, -4)を通るので、

$(-2)^2 + (-4)^2 - 2l - 4m + n = 0$

$4 + 16 - 2l - 4m + n = 0$

$-2l - 4m + n = -20$ ...(3)

(2) - (1)より、

$(6l - 8m + n) - (3l + m + n) = -100 - (-10)$

$3l - 9m = -90$

$l - 3m = -30$ ...(4)

(3) - (1)より、

$(-2l - 4m + n) - (3l + m + n) = -20 - (-10)$

$-5l - 5m = -10$

$l + m = 2$ ...(5)

(5)より、$l = 2 - m$ なので、(4)に代入すると、

$(2 - m) - 3m = -30$

$2 - 4m = -30$

$-4m = -32$

$m = 8$

$l = 2 - m = 2 - 8 = -6$

(1)に代入すると、

$3(-6) + 8 + n = -10$

$-18 + 8 + n = -10$

$-10 + n = -10$

$n = 0$

よって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

3. 最終的な答え

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

または

$x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$