$(5x-2)^3 = (5x)^3 - 3(5x)^2(2) + 3(5x)(2)^2 - 2^3 = 125x^3 - 150x^2 + 60x - 8$

## 問題の回答

### (1) 問題の内容

$\int x(5x-2)^3 dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. まず、$(5x-2)^3$ を展開します。

$(5x-2)^3 = (5x)^3 - 3(5x)^2(2) + 3(5x)(2)^2 - 2^3 = 125x^3 - 150x^2 + 60x - 8$

2. 次に、被積分関数 $x(5x-2)^3$ を展開します。

$x(5x-2)^3 = x(125x^3 - 150x^2 + 60x - 8) = 125x^4 - 150x^3 + 60x^2 - 8x$

3. 不定積分を計算します。

$\int (125x^4 - 150x^3 + 60x^2 - 8x) dx = 125\int x^4 dx - 150\int x^3 dx + 60\int x^2 dx - 8\int x dx$

$= 125\frac{x^5}{5} - 150\frac{x^4}{4} + 60\frac{x^3}{3} - 8\frac{x^2}{2} + C$

$= 25x^5 - \frac{75}{2}x^4 + 20x^3 - 4x^2 + C$

### (3) 最終的な答え

$25x^5 - \frac{75}{2}x^4 + 20x^3 - 4x^2 + C$

### (1) 問題の内容

$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 置換積分を行います。$u = 1+x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。また、$x^2 = u-1$ となります。

よって、

$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx = \int x^2 \sqrt{1+x^2} x dx = \int (u-1)\sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2}\int (u-1)u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2}\int (u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}) du$

2. 積分を計算します。

$\frac{1}{2}\int (u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}) du = \frac{1}{2}\left(\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right) + C = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right) + C = \frac{1}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}} + C$

3. $u = 1+x^2$ を代入します。

$\frac{1}{5}(1+x^2)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

4. $(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$ でくくります。

$(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{5}(1+x^2) - \frac{1}{3}\right) + C = (1+x^2)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}\right) + C = (1+x^2)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{3+3x^2-5}{15}\right) + C = (1+x^2)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{3x^2-2}{15}\right) + C$

### (3) 最終的な答え

$\frac{1}{15}(3x^2-2)(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$

### (1) 問題の内容

$\int \cos^2 x \sin x dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 置換積分を行います。$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ より、$\sin x dx = -du$ となります。

よって、

$\int \cos^2 x \sin x dx = \int u^2 (-du) = -\int u^2 du$

2. 積分を計算します。

$-\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C$

3. $u = \cos x$ を代入します。

$-\frac{\cos^3 x}{3} + C$

### (3) 最終的な答え

$-\frac{1}{3}\cos^3 x + C$

### (1) 問題の内容

$\int 2x(x^2+1)^3 dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 置換積分を行います。$u = x^2+1$ とおくと、$du = 2x dx$ となります。

よって、

$\int 2x(x^2+1)^3 dx = \int u^3 du$

2. 積分を計算します。

$\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C$

3. $u = x^2+1$ を代入します。

$\frac{(x^2+1)^4}{4} + C$

### (3) 最終的な答え

$\frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$

### (1) 問題の内容

$\int e^x (e^x+1)^4 dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 置換積分を行います。$u = e^x + 1$ とおくと、$du = e^x dx$ となります。

よって、

$\int e^x (e^x+1)^4 dx = \int u^4 du$

2. 積分を計算します。

$\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$

3. $u = e^x+1$ を代入します。

$\frac{(e^x+1)^5}{5} + C$

### (3) 最終的な答え

$\frac{1}{5}(e^x+1)^5 + C$

### (1) 問題の内容

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 置換積分を行います。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

よって、

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int u^2 du$

2. 積分を計算します。

$\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C$

3. $u = \log x$ を代入します。

$\frac{(\log x)^3}{3} + C$

### (3) 最終的な答え

$\frac{1}{3}(\log x)^3 + C$

### (1) 問題の内容

$\int \frac{2x}{x^2+1} dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 置換積分を行います。$u = x^2+1$ とおくと、$du = 2x dx$ となります。

よって、

$\int \frac{2x}{x^2+1} dx = \int \frac{1}{u} du$

2. 積分を計算します。

$\int \frac{1}{u} du = \log|u| + C$

3. $u = x^2+1$ を代入します。

$\log|x^2+1| + C = \log(x^2+1) + C$ （なぜなら $x^2+1 > 0$）

### (3) 最終的な答え

$\log(x^2+1) + C$

### (1) 問題の内容

$\int \frac{x^2}{x^3+2} dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 置換積分を行います。$u = x^3+2$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ より、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となります。

よって、

$\int \frac{x^2}{x^3+2} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du$

2. 積分を計算します。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \log|u| + C$

3. $u = x^3+2$ を代入します。

$\frac{1}{3} \log|x^3+2| + C$

### (3) 最終的な答え

$\frac{1}{3}\log|x^3+2| + C$