与えられた不定積分を計算します。今回は、以下の問題を選択して解きます。 (1) $\int x(5x-2)^3 dx$ (2) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$ (3) $\int \cos^2 x \sin x dx$ (4) $\int 2x(x^2+1)^3 dx$ (5) $\int e^x (e^x+1)^4 dx$ (6) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$ (7) $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$ (8) $\int \frac{x^2}{x^3+2} dx$

解析学不定積分置換積分
2025/4/13
はい、承知いたしました。問題のリストの中から、いくつかの不定積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。今回は、以下の問題を選択して解きます。
(1) x(5x2)3dx\int x(5x-2)^3 dx
(2) x31+x2dx\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx
(3) cos2xsinxdx\int \cos^2 x \sin x dx
(4) 2x(x2+1)3dx\int 2x(x^2+1)^3 dx
(5) ex(ex+1)4dx\int e^x (e^x+1)^4 dx
(6) (logx)2xdx\int \frac{(\log x)^2}{x} dx
(7) 2xx2+1dx\int \frac{2x}{x^2+1} dx
(8) x2x3+2dx\int \frac{x^2}{x^3+2} dx

2. 解き方の手順

(1) x(5x2)3dx\int x(5x-2)^3 dx
置換積分を用いて計算します。u=5x2u = 5x-2 とおくと、du=5dxdu = 5 dx より dx=15dudx = \frac{1}{5} du です。また、x=u+25x = \frac{u+2}{5} となります。
したがって、
x(5x2)3dx=u+25u315du=125(u4+2u3)du=125(u55+2u44)+C=1125(5x2)5+150(5x2)4+C\int x(5x-2)^3 dx = \int \frac{u+2}{5} u^3 \frac{1}{5} du = \frac{1}{25} \int (u^4 + 2u^3) du = \frac{1}{25} (\frac{u^5}{5} + \frac{2u^4}{4}) + C = \frac{1}{125} (5x-2)^5 + \frac{1}{50} (5x-2)^4 + C
(2) x31+x2dx\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx
置換積分を用いて計算します。u=1+x2u = 1+x^2 とおくと、du=2xdxdu = 2x dx より xdx=12dux dx = \frac{1}{2} du です。また、x2=u1x^2 = u-1 となります。
したがって、
x31+x2dx=x21+x2xdx=(u1)u12du=12(u3/2u1/2)du=12(u5/25/2u3/23/2)+C=15(1+x2)5/213(1+x2)3/2+C\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx = \int x^2 \sqrt{1+x^2} x dx = \int (u-1) \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int (u^{3/2} - u^{1/2}) du = \frac{1}{2} (\frac{u^{5/2}}{5/2} - \frac{u^{3/2}}{3/2}) + C = \frac{1}{5} (1+x^2)^{5/2} - \frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C
(3) cos2xsinxdx\int \cos^2 x \sin x dx
置換積分を用いて計算します。u=cosxu = \cos x とおくと、du=sinxdxdu = -\sin x dx より sinxdx=du\sin x dx = -du です。
したがって、
cos2xsinxdx=u2(du)=u33+C=cos3x3+C\int \cos^2 x \sin x dx = \int u^2 (-du) = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 x}{3} + C
(4) 2x(x2+1)3dx\int 2x(x^2+1)^3 dx
置換積分を用いて計算します。u=x2+1u = x^2+1 とおくと、du=2xdxdu = 2x dx です。
したがって、
2x(x2+1)3dx=u3du=u44+C=(x2+1)44+C\int 2x(x^2+1)^3 dx = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C
(5) ex(ex+1)4dx\int e^x (e^x+1)^4 dx
置換積分を用いて計算します。u=ex+1u = e^x+1 とおくと、du=exdxdu = e^x dx です。
したがって、
ex(ex+1)4dx=u4du=u55+C=(ex+1)55+C\int e^x (e^x+1)^4 dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{(e^x+1)^5}{5} + C
(6) (logx)2xdx\int \frac{(\log x)^2}{x} dx
置換積分を用いて計算します。u=logxu = \log x とおくと、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx です。
したがって、
(logx)2xdx=u2du=u33+C=(logx)33+C\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C
(7) 2xx2+1dx\int \frac{2x}{x^2+1} dx
置換積分を用いて計算します。u=x2+1u = x^2+1 とおくと、du=2xdxdu = 2x dx です。
したがって、
2xx2+1dx=1udu=logu+C=log(x2+1)+C\int \frac{2x}{x^2+1} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log (x^2+1) + C
(8) x2x3+2dx\int \frac{x^2}{x^3+2} dx
置換積分を用いて計算します。u=x3+2u = x^3+2 とおくと、du=3x2dxdu = 3x^2 dx より x2dx=13dux^2 dx = \frac{1}{3} du です。
したがって、
x2x3+2dx=1u13du=13logu+C=13logx3+2+C\int \frac{x^2}{x^3+2} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \log |u| + C = \frac{1}{3} \log |x^3+2| + C

3. 最終的な答え

(1) x(5x2)3dx=1125(5x2)5+150(5x2)4+C\int x(5x-2)^3 dx = \frac{1}{125} (5x-2)^5 + \frac{1}{50} (5x-2)^4 + C
(2) x31+x2dx=15(1+x2)5/213(1+x2)3/2+C\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{5} (1+x^2)^{5/2} - \frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C
(3) cos2xsinxdx=cos3x3+C\int \cos^2 x \sin x dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C
(4) 2x(x2+1)3dx=(x2+1)44+C\int 2x(x^2+1)^3 dx = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C
(5) ex(ex+1)4dx=(ex+1)55+C\int e^x (e^x+1)^4 dx = \frac{(e^x+1)^5}{5} + C
(6) (logx)2xdx=(logx)33+C\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \frac{(\log x)^3}{3} + C
(7) 2xx2+1dx=log(x2+1)+C\int \frac{2x}{x^2+1} dx = \log (x^2+1) + C
(8) x2x3+2dx=13logx3+2+C\int \frac{x^2}{x^3+2} dx = \frac{1}{3} \log |x^3+2| + C

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