与えられた不定積分を計算します。今回は、以下の問題を選択して解きます。 (1) $\int x(5x-2)^3 dx$ (2) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$ (3) $\int \cos^2 x \sin x dx$ (4) $\int 2x(x^2+1)^3 dx$ (5) $\int e^x (e^x+1)^4 dx$ (6) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$ (7) $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$ (8) $\int \frac{x^2}{x^3+2} dx$

はい、承知いたしました。問題のリストの中から、いくつかの不定積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。今回は、以下の問題を選択して解きます。

(1) $\int x(5x-2)^3 dx$

(2) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$

(3) $\int \cos^2 x \sin x dx$

(4) $\int 2x(x^2+1)^3 dx$

(5) $\int e^x (e^x+1)^4 dx$

(6) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$

(7) $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$

(8) $\int \frac{x^2}{x^3+2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x(5x-2)^3 dx$

置換積分を用いて計算します。$u = 5x-2$ とおくと、$du = 5 dx$ より $dx = \frac{1}{5} du$ です。また、$x = \frac{u+2}{5}$ となります。

したがって、

$\int x(5x-2)^3 dx = \int \frac{u+2}{5} u^3 \frac{1}{5} du = \frac{1}{25} \int (u^4 + 2u^3) du = \frac{1}{25} (\frac{u^5}{5} + \frac{2u^4}{4}) + C = \frac{1}{125} (5x-2)^5 + \frac{1}{50} (5x-2)^4 + C$

(2) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$

置換積分を用いて計算します。$u = 1+x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$ です。また、$x^2 = u-1$ となります。

したがって、

$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx = \int x^2 \sqrt{1+x^2} x dx = \int (u-1) \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int (u^{3/2} - u^{1/2}) du = \frac{1}{2} (\frac{u^{5/2}}{5/2} - \frac{u^{3/2}}{3/2}) + C = \frac{1}{5} (1+x^2)^{5/2} - \frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C$

(3) $\int \cos^2 x \sin x dx$

置換積分を用いて計算します。$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ より $\sin x dx = -du$ です。

したがって、

$\int \cos^2 x \sin x dx = \int u^2 (-du) = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$

(4) $\int 2x(x^2+1)^3 dx$

置換積分を用いて計算します。$u = x^2+1$ とおくと、$du = 2x dx$ です。

したがって、

$\int 2x(x^2+1)^3 dx = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$

(5) $\int e^x (e^x+1)^4 dx$

置換積分を用いて計算します。$u = e^x+1$ とおくと、$du = e^x dx$ です。

したがって、

$\int e^x (e^x+1)^4 dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{(e^x+1)^5}{5} + C$

(6) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$

置換積分を用いて計算します。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ です。

したがって、

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(7) $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$

置換積分を用いて計算します。$u = x^2+1$ とおくと、$du = 2x dx$ です。

したがって、

$\int \frac{2x}{x^2+1} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log (x^2+1) + C$

(8) $\int \frac{x^2}{x^3+2} dx$

置換積分を用いて計算します。$u = x^3+2$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ より $x^2 dx = \frac{1}{3} du$ です。

したがって、

$\int \frac{x^2}{x^3+2} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \log |u| + C = \frac{1}{3} \log |x^3+2| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x(5x-2)^3 dx = \frac{1}{125} (5x-2)^5 + \frac{1}{50} (5x-2)^4 + C$

(2) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{5} (1+x^2)^{5/2} - \frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C$

(3) $\int \cos^2 x \sin x dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$

(4) $\int 2x(x^2+1)^3 dx = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$

(5) $\int e^x (e^x+1)^4 dx = \frac{(e^x+1)^5}{5} + C$

(6) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(7) $\int \frac{2x}{x^2+1} dx = \log (x^2+1) + C$

(8) $\int \frac{x^2}{x^3+2} dx = \frac{1}{3} \log |x^3+2| + C$