与えられた数列の和を計算する問題です。 $\sum_{k=1}^{400} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。

$\sum_{k=1}^{400} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \cdot \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{k - (k+1)} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{-1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{400} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{400} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

この和はtelescoping sum（望遠鏡和、級数項が隣り合う項と打ち消し合う級数）なので、以下のように計算できます。

$(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{401} - \sqrt{400})$

$= -\sqrt{1} + \sqrt{401}$

$= \sqrt{401} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{401} - 1$