与えられた和を計算します。和は $\sum_{k=1}^{400} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた和を計算します。和は $\sum_{k=1}^{400} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、和の各項を有利化します。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ に $\frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{(\sqrt{k} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k} - \sqrt{k+1})} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{k - (k+1)} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{-1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{400} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

これは、伸縮和（telescoping sum）です。つまり、項の多くが互いに打ち消しあいます。

具体的に書き出すと、

$(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{400} - \sqrt{399}) + (\sqrt{401} - \sqrt{400})$

となります。

この和では、$-\sqrt{1}$と$\sqrt{401}$以外の項は全て打ち消しあい、残るのは $-\sqrt{1} + \sqrt{401}$のみです。

$\sum_{k=1}^{400} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = \sqrt{401} - \sqrt{1} = \sqrt{401} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{401} - 1$