与えられた5つの不定積分をそれぞれ計算します。 (1) $\int xe^{-x} dx$ (2) $\int (x-1) \sin 3x dx$ (3) $\int x^2 \log x dx$ (4) $\int x^2 e^{3x} dx$ (5) $I = \int e^{3x} \cos 2x dx$

はい、承知いたしました。画像に掲載されている5つの不定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた5つの不定積分をそれぞれ計算します。

(1) $\int xe^{-x} dx$

(2) $\int (x-1) \sin 3x dx$

(3) $\int x^2 \log x dx$

(4) $\int x^2 e^{3x} dx$

(5) $I = \int e^{3x} \cos 2x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int xe^{-x} dx$

部分積分法を用います。$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ です。

$$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$$

(2) $\int (x-1) \sin 3x dx$

部分積分法を用います。$u = x-1$, $dv = \sin 3x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$ です。

$$\int (x-1) \sin 3x dx = -\frac{1}{3}(x-1)\cos 3x - \int -\frac{1}{3} \cos 3x dx = -\frac{1}{3}(x-1)\cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x dx$$

$$= -\frac{1}{3}(x-1)\cos 3x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + C = -\frac{1}{3}(x-1)\cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$$

(3) $\int x^2 \log x dx$

部分積分法を用います。$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{3}x^3$ です。

$$\int x^2 \log x dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x^3 + C$$

$$= \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3 + C$$

(4) $\int x^2 e^{3x} dx$

部分積分法を2回用います。まず、$u = x^2$, $dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = \frac{1}{3} e^{3x}$ です。

$$\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2x dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx$$

次に、$\int x e^{3x} dx$ を計算します。$u = x$, $dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3} e^{3x}$ です。

$$\int x e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} + C = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} + C$$

したがって、

$$\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \right) + C = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{9} x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C$$

(5) $I = \int e^{3x} \cos 2x dx$

部分積分法を2回用います。$u = e^{3x}$, $dv = \cos 2x dx$ とすると、$du = 3e^{3x} dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ です。

$$I = \int e^{3x} \cos 2x dx = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \cdot 3e^{3x} dx = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x - \frac{3}{2} \int e^{3x} \sin 2x dx$$

次に、$\int e^{3x} \sin 2x dx$ を計算します。$u = e^{3x}$, $dv = \sin 2x dx$ とすると、$du = 3e^{3x} dx$, $v = -\frac{1}{2} \cos 2x$ です。

$$\int e^{3x} \sin 2x dx = -\frac{1}{2} e^{3x} \cos 2x - \int -\frac{1}{2} \cos 2x \cdot 3e^{3x} dx = -\frac{1}{2} e^{3x} \cos 2x + \frac{3}{2} \int e^{3x} \cos 2x dx = -\frac{1}{2} e^{3x} \cos 2x + \frac{3}{2} I$$

したがって、

$$I = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x - \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{2} e^{3x} \cos 2x + \frac{3}{2} I \right) + C = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x - \frac{9}{4} I + C$$

$$I + \frac{9}{4} I = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x + C$$

$$\frac{13}{4} I = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x + C$$

$$I = \frac{4}{13} \left( \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x \right) + C = \frac{2}{13} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{13} e^{3x} \cos 2x + C = \frac{1}{13} e^{3x} (2\sin 2x + 3\cos 2x) + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

(2) $\int (x-1) \sin 3x dx = -\frac{1}{3}(x-1)\cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(3) $\int x^2 \log x dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3 + C$

(4) $\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{9} x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C$

(5) $I = \int e^{3x} \cos 2x dx = \frac{1}{13} e^{3x} (2\sin 2x + 3\cos 2x) + C$