$k$ を0と異なる実数の定数、$i$ を虚数単位とする。 二次方程式 $x^2+(3+2i)x+k(2+i)^2=0$ が実数解 $x=\alpha$ を一つ持つとき、以下の問いに答えよ。 (1) $k$ と $\alpha$ の値を求めよ。 (2) 与えられた二次方程式を満たす複素数をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を0と異なる実数の定数、$i$ を虚数単位とする。

二次方程式 $x^2+(3+2i)x+k(2+i)^2=0$ が実数解 $x=\alpha$ を一つ持つとき、以下の問いに答えよ。

(1) $k$ と $\alpha$ の値を求めよ。

(2) 与えられた二次方程式を満たす複素数をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二次方程式 $x^2+(3+2i)x+k(2+i)^2=0$ に $x=\alpha$ を代入する。

$\alpha^2 + (3+2i)\alpha + k(2+i)^2 = 0$

$\alpha^2 + 3\alpha + 2i\alpha + k(4+4i-1) = 0$

$\alpha^2 + 3\alpha + 2i\alpha + k(3+4i) = 0$

$(\alpha^2 + 3\alpha + 3k) + (2\alpha + 4k)i = 0$

$\alpha, k$ は実数であるから、実部と虚部がそれぞれ0でなければならない。

$\alpha^2 + 3\alpha + 3k = 0$

$2\alpha + 4k = 0$

二つ目の式より、

$4k = -2\alpha$

$k = -\frac{1}{2}\alpha$

これを一つ目の式に代入する。

$\alpha^2 + 3\alpha + 3(-\frac{1}{2}\alpha) = 0$

$\alpha^2 + 3\alpha - \frac{3}{2}\alpha = 0$

$\alpha^2 + \frac{3}{2}\alpha = 0$

$\alpha(\alpha + \frac{3}{2}) = 0$

$\alpha = 0$ または $\alpha = -\frac{3}{2}$

$k$ は0と異なるので、$\alpha = 0$ は不適。よって、 $\alpha = -\frac{3}{2}$.

$k = -\frac{1}{2}\alpha = -\frac{1}{2}(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{4}$

(2) 与えられた二次方程式は、

$x^2 + (3+2i)x + \frac{3}{4}(2+i)^2 = 0$

$x^2 + (3+2i)x + \frac{3}{4}(3+4i) = 0$

$x^2 + (3+2i)x + \frac{9}{4} + 3i = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(3+2i) \pm \sqrt{(3+2i)^2 - 4(\frac{9}{4} + 3i)}}{2}$

$x = \frac{-(3+2i) \pm \sqrt{9 + 12i - 4 - 9 - 12i}}{2}$

$x = \frac{-(3+2i) \pm \sqrt{-4}}{2}$

$x = \frac{-(3+2i) \pm 2i}{2}$

$x_1 = \frac{-3-2i+2i}{2} = -\frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-3-2i-2i}{2} = \frac{-3-4i}{2} = -\frac{3}{2} - 2i$

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{3}{4}$, $\alpha = -\frac{3}{2}$

(2) $x = -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2} - 2i$