与えられた5つの定積分の値を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2x \, dx$ (2) $\int_{1}^{e^2} \log x \, dx$ (3) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx$ (4) $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} \, dx$ (5) $I = \int_{0}^{\pi} e^x \sin x \, dx$

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた5つの定積分の値を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2x \, dx$

(2) $\int_{1}^{e^2} \log x \, dx$

(3) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx$

(4) $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} \, dx$

(5) $I = \int_{0}^{\pi} e^x \sin x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を用いる。$u = x$, $dv = \sin 2x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$。

$\int x \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x - \int -\frac{1}{2}\cos 2x \, dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2x \, dx = \left[-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \cos \pi + \frac{1}{4}\sin \pi\right) - (0 + 0) = \frac{\pi}{4}$

(2) 部分積分を用いる。$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x$

$\int_{1}^{e^2} \log x \, dx = [x \log x - x]_{1}^{e^2} = (e^2 \log e^2 - e^2) - (1 \log 1 - 1) = (2e^2 - e^2) - (0 - 1) = e^2 + 1$

(3) 部分積分を2回用いる。$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{2 \log x}{x} dx$, $v = x$。

$\int (\log x)^2 \, dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx = x (\log x)^2 - 2\int \log x \, dx = x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x$

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx = [x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x]_{1}^{e} = (e (\log e)^2 - 2e \log e + 2e) - (1 (\log 1)^2 - 2 \cdot 1 \log 1 + 2 \cdot 1) = (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2$

(4) 部分積分を2回用いる。$u = x^2$, $dv = e^{2x} dx$ とおくと、$du = 2x dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。

$\int x^2 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2x \, dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} \, dx$

次に、$\int x e^{2x} \, dx$ を部分積分で計算する。$u = x$, $dv = e^{2x} dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。

$\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}$

したがって、

$\int x^2 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\right) = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x}$

$\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{4}e^2\right) - \left(0 - 0 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} = \frac{e^2 - 1}{4}$

(5) 部分積分を2回用いる。$u = e^x$, $dv = \sin x \, dx$ とおくと、$du = e^x dx$, $v = -\cos x$。

$I = \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x - \int -e^x \cos x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$

次に、$\int e^x \cos x \, dx$ を部分積分で計算する。$u = e^x$, $dv = \cos x \, dx$ とおくと、$du = e^x dx$, $v = \sin x$。

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - I$

したがって、$I = -e^x \cos x + e^x \sin x - I$ より、 $2I = -e^x \cos x + e^x \sin x$。

$I = \frac{1}{2}(-e^x \cos x + e^x \sin x)$

$I = \int_{0}^{\pi} e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2}[-e^x \cos x + e^x \sin x]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}[(-e^{\pi} \cos \pi + e^{\pi} \sin \pi) - (-e^0 \cos 0 + e^0 \sin 0)] = \frac{1}{2}[(e^{\pi} + 0) - (-1 + 0)] = \frac{e^{\pi} + 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $e^2 + 1$

(3) $e - 2$

(4) $\frac{e^2 - 1}{4}$

(5) $\frac{e^{\pi} + 1}{2}$