与えられた関数の逆関数を求め、そのグラフを描く問題です。以下の4つの関数について解答します。 (1) $y = \frac{2x+1}{x} \quad (x > 0)$ (2) $y = 2x+3 \quad (0 \leq x \leq 2)$ (3) $y = x^2 \quad (x \leq 0)$ (4) $y = \log_2 x + 1$

1. 問題の内容

与えられた関数の逆関数を求め、そのグラフを描く問題です。以下の4つの関数について解答します。

(1) $y = \frac{2x+1}{x} \quad (x > 0)$

(2) $y = 2x+3 \quad (0 \leq x \leq 2)$

(3) $y = x^2 \quad (x \leq 0)$

(4) $y = \log_2 x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2x+1}{x} \quad (x > 0)$

まず、$x$について解きます。

$y = \frac{2x+1}{x}$

$xy = 2x + 1$

$xy - 2x = 1$

$x(y-2) = 1$

$x = \frac{1}{y-2}$

次に、$x$と$y$を入れ替えます。

$y = \frac{1}{x-2}$

$x > 0$ より、 $y = \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x} > 2$.

したがって、逆関数の定義域は $x > 2$ となります。

逆関数は $y = \frac{1}{x-2} \quad (x > 2)$です。

(2) $y = 2x+3 \quad (0 \leq x \leq 2)$

まず、$x$について解きます。

$y = 2x + 3$

$2x = y - 3$

$x = \frac{y-3}{2}$

次に、$x$と$y$を入れ替えます。

$y = \frac{x-3}{2}$

$0 \leq x \leq 2$ より、$y = 2x+3$ の値域は $3 \leq y \leq 7$ となります。

したがって、逆関数の定義域は $3 \leq x \leq 7$ となります。

逆関数は $y = \frac{x-3}{2} \quad (3 \leq x \leq 7)$です。

(3) $y = x^2 \quad (x \leq 0)$

まず、$x$について解きます。

$y = x^2$

$x = \pm \sqrt{y}$

ここで、$x \leq 0$なので、$x = -\sqrt{y}$となります。

次に、$x$と$y$を入れ替えます。

$y = -\sqrt{x}$

$x \leq 0$ より、$y=x^2 \geq 0$。

したがって、逆関数の定義域は $x \geq 0$ となります。

逆関数は $y = -\sqrt{x} \quad (x \geq 0)$です。

(4) $y = \log_2 x + 1$

まず、$x$について解きます。

$y = \log_2 x + 1$

$y - 1 = \log_2 x$

$x = 2^{y-1}$

次に、$x$と$y$を入れ替えます。

$y = 2^{x-1}$

$\log_2 x$ の真数条件より、$x > 0$.

したがって、元の関数の定義域は $x > 0$。値域はすべての実数。

逆関数の定義域はすべての実数。

逆関数は $y = 2^{x-1}$です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{x-2} \quad (x > 2)$

(2) $y = \frac{x-3}{2} \quad (3 \leq x \leq 7)$

(3) $y = -\sqrt{x} \quad (x \geq 0)$

(4) $y = 2^{x-1}$

グラフについては省略します。