与えられた数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k$ とすると、 $a_k = k(n+2-k)$ と表せる。

したがって、数列の和 $S_n$ は次のようになる。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n k(n+2-k)$

$= \sum_{k=1}^n (k(n+2) - k^2)$

$= (n+2) \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n k^2$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ であり、 $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であるから、

$S_n = (n+2) \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)}{6} [3(n+2) - (2n+1)]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [3n+6 - 2n - 1]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [n+5]$

$= \frac{n(n+1)(n+5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+5)}{6}$