線形変換 $f: \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ によって、直線 $y = x$ と $y = x + 2$ がそれぞれどのような直線に写像されるかを求める。

1. 問題の内容

線形変換 $f: \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ によって、直線 $y = x$ と $y = x + 2$ がそれぞれどのような直線に写像されるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた線形変換の式から、$x', y'$ を $x, y$ で表すと、

$x' = -x + 2y$

$y' = x - 3y$

となる。

次に、$x, y$ を $x', y'$ で表すことを考える。上記の2つの式を連立方程式として解く。

$x' = -x + 2y$ より、$x = 2y - x'$

これを $y' = x - 3y$ に代入すると、

$y' = (2y - x') - 3y$

$y' = -y - x'$

$y = -x' - y'$

したがって、$x = 2y - x' = 2(-x' - y') - x' = -2x' - 2y' - x' = -3x' - 2y'$

よって、

$x = -3x' - 2y'$

$y = -x' - y'$

(1) 直線 $y = x$ の場合

$y = x$ を上記の式に代入すると、$-x' - y' = -3x' - 2y'$となる。

整理すると、$2x' + y' = 0$。

したがって、直線 $y = x$ は直線 $2x + y = 0$ に写像される。

(2) 直線 $y = x + 2$ の場合

$y = x + 2$ を上記の式に代入すると、$-x' - y' = -3x' - 2y' + 2$となる。

整理すると、$2x' + y' = 2$。

したがって、直線 $y = x + 2$ は直線 $2x + y = 2$ に写像される。

3. 最終的な答え

直線 $y=x$ は直線 $2x + y = 0$ に写像され、直線 $y = x + 2$ は直線 $2x + y = 2$ に写像される。