与えられた条件と性質を使って、以下の3つの問いに答えます。 (1) $|a| \le b$ の否定を $|a|, >, b$ を用いて表す。 (2) $-b \le a$ かつ $a \le b$ の否定を $a, >, b$, または を用いて表す。 (3) 不等式 $|2x+1| > x+2$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた条件と性質を使って、以下の3つの問いに答えます。

(1) $|a| \le b$ の否定を $|a|, >, b$ を用いて表す。

(2) $-b \le a$ かつ $a \le b$ の否定を $a, >, b$, または を用いて表す。

(3) 不等式 $|2x+1| > x+2$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $|a| \le b$ の否定は、 $|a| > b$ となります。

(2) 「$-b \le a$ かつ $a \le b$」の否定は、「$-b \le a$」の否定または「$a \le b$」の否定となります。

「$-b \le a$」の否定は $a < -b$ です。

「$a \le b$」の否定は $a > b$ です。

したがって、「$-b \le a$ かつ $a \le b$」の否定は $a < -b$ または $a > b$ となります。

(3) 不等式 $|2x+1| > x+2$ を解きます。

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $2x+1 \ge 0$ すなわち $x \ge -\frac{1}{2}$ のとき

$2x+1 > x+2$ となり、$x > 1$。

$x \ge -\frac{1}{2}$ と $x > 1$ の共通範囲は $x > 1$。

(ii) $2x+1 < 0$ すなわち $x < -\frac{1}{2}$ のとき

$-(2x+1) > x+2$ となり、$-2x-1 > x+2$。

$-3x > 3$。

$x < -1$。

$x < -\frac{1}{2}$ と $x < -1$ の共通範囲は $x < -1$。

(i), (ii)より、$x > 1$ または $x < -1$。

3. 最終的な答え

(1) $|a| > b$

(2) $a < -b$ または $a > b$

(3) $x < -1$ または $x > 1$