$xy^2 = 10$ の条件下で、$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy^2 = 10$ の条件下で、$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$xy^2 = 10$ の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10}(xy^2) = \log_{10}10$

$\log_{10}x + 2\log_{10}y = 1$

ここで、$\log_{10}x = X$, $\log_{10}y = Y$ とおくと、

$X + 2Y = 1$

$X = 1 - 2Y$

求めたい値は $XY = (1 - 2Y)Y = Y - 2Y^2$

$f(Y) = -2Y^2 + Y$ とおくと、$f(Y)$ の最大値を求める問題に帰着します。

$f(Y) = -2(Y^2 - \frac{1}{2}Y)$

$f(Y) = -2(Y^2 - \frac{1}{2}Y + \frac{1}{16} - \frac{1}{16})$

$f(Y) = -2(Y - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$

$f(Y)$ は $Y = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $\frac{1}{8}$ をとります。

このとき、

$X = 1 - 2Y = 1 - 2(\frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

ここで、$x>0, y>0$より$\log_{10}x$と$\log_{10}y$は任意の実数を取り得るので、 $Y=\frac{1}{4}$は条件を満たします。

したがって、$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$ の最大値は $\frac{1}{8}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$