次の線形変換に対応する行列 $A$ を求めます。 (1) 点 $(x, y)$ を点 $(3x-y, 5x-3y)$ に写像する変換 (2) 点 $(1, -1), (-1, 4)$ をそれぞれ点 $(2, 0), (1, 6)$ に写像する変換 (3) 点 $(1, 1)$ を動かさず、点 $(1, -1)$ を点 $(-1, 1)$ に写像する変換

1. 問題の内容

次の線形変換に対応する行列 $A$ を求めます。

(1) 点 $(x, y)$ を点 $(3x-y, 5x-3y)$ に写像する変換

(2) 点 $(1, -1), (-1, 4)$ をそれぞれ点 $(2, 0), (1, 6)$ に写像する変換

(3) 点 $(1, 1)$ を動かさず、点 $(1, -1)$ を点 $(-1, 1)$ に写像する変換

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A$ を $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x-y \\ 5x-3y \end{pmatrix}$

$ax + by = 3x - y$

$cx + dy = 5x - 3y$

よって、$a = 3, b = -1, c = 5, d = -3$

(2)

行列 $A$ を $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

$a - b = 2$

$c - d = 0$

$-a + 4b = 1$

$-c + 4d = 6$

$3b = 3$ より $b = 1$. よって $a = 3$.

$3d = 6$ より $d = 2$. よって $c = 2$.

(3)

行列 $A$ を $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$a + b = 1$

$c + d = 1$

$a - b = -1$

$c - d = 1$

$2a = 0$ より $a = 0$. よって $b = 1$.

$2c = 2$ より $c = 1$. よって $d = 0$.

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$