(1) $\cos \theta + \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \cos (\theta + \pi) + \cos \left( \theta + \frac{3}{2} \pi \right)$ の値を求めよ。 (2) $\sin(\theta + \pi) \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \cos (-\theta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\cos \theta + \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \cos (\theta + \pi) + \cos \left( \theta + \frac{3}{2} \pi \right)$ の値を求めよ。

(2) $\sin(\theta + \pi) \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \cos (-\theta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の加法定理を用いる。

$\cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{2} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{2} = - \sin \theta$

$\cos (\theta + \pi) = \cos \theta \cos \pi - \sin \theta \sin \pi = - \cos \theta$

$\cos \left( \theta + \frac{3}{2} \pi \right) = \cos \theta \cos \frac{3}{2} \pi - \sin \theta \sin \frac{3}{2} \pi = \sin \theta$

したがって、

$\cos \theta + \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \cos (\theta + \pi) + \cos \left( \theta + \frac{3}{2} \pi \right) = \cos \theta - \sin \theta - \cos \theta + \sin \theta = 0$

(2)

三角関数の性質を用いる。

$\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta$

$\cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \theta$

$\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta$

$\cos (-\theta) = \cos \theta$

したがって、

$\sin(\theta + \pi) \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \cos (-\theta) = (-\sin \theta)(-\sin \theta) + (\cos \theta)(\cos \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1