2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 5$ の最大値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 5$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数の最大値を求めるために、平方完成を行います。

まず、$x^2$ の係数である -2 で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = -2(x^2 + 2x) + 5$

次に、括弧内を平方完成します。$x^2 + 2x$ を平方完成するには、$(x+1)^2$ の形にすれば良いことがわかります。$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ より、$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ となります。

これを元の式に代入すると、

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 5$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 5$

$y = -2(x+1)^2 + 7$

この式から、2次関数は $x = -1$ のとき最大値 7 をとることがわかります。

なぜなら、$(x+1)^2$ は常に0以上の値を取り、$x=-1$の時に0になるので、 $-2(x+1)^2$は常に0以下の値を取り、$x=-1$の時に0になるからです。したがって、$y$は$x=-1$の時に最大値7を取ります。

3. 最終的な答え

7