関数 $y = x \sin(\frac{1}{x})$ の $x=0$ における連続性を調べよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x \sin(\frac{1}{x})$ の $x=0$ における連続性を調べよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、次の3つの条件が成り立つことです。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

まず、$x=0$ で $f(x) = x \sin(\frac{1}{x})$ が定義されているかどうかを確認します。

$x=0$ のとき、$\frac{1}{x}$ は定義されないため、$f(0)$ は直接的には定義されません。

そこで、$f(0)$ を適切に定義して連続性を議論します。

$x \neq 0$ に対して $f(x) = x \sin(\frac{1}{x})$ が定義されているので、$x \to 0$ のときの極限を考えます。

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ であるため、

$-|x| \leq x \sin(\frac{1}{x}) \leq |x|$

が成り立ちます。

$x \to 0$ のとき、$-|x| \to 0$ かつ $|x| \to 0$ なので、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$

となります。

したがって、$f(0) = 0$ と定義すると、$f(x)$ は $x=0$ で定義され、

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$

が成り立ちます。

以上の議論より、$y = x \sin(\frac{1}{x})$ は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

True