関数 $f(a) = \int_{0}^{1} |x^2 - ax| dx$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(a) = \int_{0}^{1} |x^2 - ax| dx$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x^2 - ax|$ の積分を計算します。$x^2 - ax = x(x-a)$ なので、$x^2 - ax = 0$ となるのは、$x=0$ と $x=a$ です。積分範囲は $0 \le x \le 1$ なので、$a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a \le 0$ のとき、$0 \le x \le 1$ において $x^2 - ax \ge 0$ なので、$|x^2 - ax| = x^2 - ax$ となります。

$$f(a) = \int_{0}^{1} (x^2 - ax) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{a}{2}$$

このとき、$f(a)$ は $a$ に関して増加関数なので、$a \le 0$ では最小値を持ちません。

(ii) $0 < a < 1$ のとき、$0 \le x \le a$ では $x^2 - ax \le 0$ なので、$|x^2 - ax| = ax - x^2$ であり、$a \le x \le 1$ では $x^2 - ax \ge 0$ なので、$|x^2 - ax| = x^2 - ax$ です。

\begin{align*}

f(a) &= \int_{0}^{a} (ax - x^2) dx + \int_{a}^{1} (x^2 - ax) dx \\

&= \left[\frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{a} + \left[\frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2}\right]_{a}^{1} \\

&= \left(\frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{a}{2}\right) - \left(\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{2}\right) \\

&= \frac{a^3}{6} + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{3}

\end{align*}

$f'(a) = a^2 - \frac{1}{2}$ なので、$f'(a) = 0$ となるのは $a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。$0 < a < 1$ より、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のみが該当します。

$f''(a) = 2a$ なので、$f''(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$ なので、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値をとります。

$$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{3} = \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2 - \sqrt{2}}{6}$$

(iii) $a \ge 1$ のとき、$0 \le x \le 1$ において $x^2 - ax \le 0$ なので、$|x^2 - ax| = ax - x^2$ となります。

$$f(a) = \int_{0}^{1} (ax - x^2) dx = \left[\frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{a}{2} - \frac{1}{3}$$

このとき、$f(a)$ は $a$ に関して増加関数なので、$a \ge 1$ では最小値を持ちません。$a=1$ の時、$f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ であり、これは$f(1/\sqrt{2})$ より大きいです。

以上より、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときに最小値をとります。

3. 最終的な答え

$\frac{2 - \sqrt{2}}{6}$