関数 $f(x)$ が連続のとき、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ となることを用いると、$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = 0$ となるのはなぜか、という質問です。また、$f(x)$ が連続でない場合、どうなるかという質問です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が連続のとき、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ となることを用いると、$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = 0$ となるのはなぜか、という質問です。また、$f(x)$ が連続でない場合、どうなるかという質問です。

2. 解き方の手順

まず、関数の連続性の定義を確認します。関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、次の3つの条件を満たすことを言います。

* $f(a)$ が定義されている

* $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する

* $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

上記を踏まえると、

$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} f(a)$

ここで、$f(a)$ は $x$ に依存しない定数なので、$\lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = \lim_{x \to a} f(x) - f(a)$

$f(x)$ が $x = a$ で連続ならば、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ なので、

$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = f(a) - f(a) = 0$

一方、$f(x)$ が $x=a$ で連続でない場合、$\lim_{x \to a} f(x)$ が存在しないか、または存在しても $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$ となります。このとき、$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a))$ は存在しないか、または0以外の値になる可能性があります。

3. 最終的な答え

$f(x)$ が連続のとき、$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = 0$ となるのは、連続性の定義 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ を用いることで、$f(a) - f(a) = 0$ となるからです。

$f(x)$ が連続でない場合、$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a))$ は存在しないか、または0以外の値になる可能性があります。