関数 $y = \sqrt{(x+7)(3x-9)}$ を微分し、結果を1つにまとめる。有理化は不要です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{(x+7)(3x-9)}$ を微分し、結果を1つにまとめる。有理化は不要です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = ((x+7)(3x-9))^{1/2}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）と積の微分法を用いて微分します。

チェーンルール：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

積の微分法：

$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

ここで $u=(x+7)(3x-9)$ と置くと、$y = u^{1/2}$ なので、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{(x+7)(3x-9)}}$

次に、$u = (x+7)(3x-9)$ を微分します。

$\frac{du}{dx} = (x+7)'(3x-9) + (x+7)(3x-9)' = 1(3x-9) + (x+7)(3) = 3x-9 + 3x+21 = 6x+12$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{(x+7)(3x-9)}} (6x+12)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6x+12}{2\sqrt{(x+7)(3x-9)}} = \frac{3x+6}{\sqrt{(x+7)(3x-9)}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x+6}{\sqrt{(x+7)(3x-9)}}$