SENSEI AI
About App

(1) $n$ を整数とするとき、積 $2\cos\frac{2n+1}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7}$ を2つの三角関数の和または差の形に直す。 (2) (1) の結果を利用して、$\cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\pi$ の値を求める。

解析学三角関数積和の公式三角関数の和三角関数の差
2025/4/15

1. 問題の内容

(1) nn を整数とするとき、積 2cos⁡2n+17πsin⁡π72\cos\frac{2n+1}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} を2つの三角関数の和または差の形に直す。
(2) (1) の結果を利用して、cos⁡97π+cos⁡117π+cos⁡137π\cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\pi の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 積を和の公式を利用する。三角関数の積和の公式から、
2cos⁡Asin⁡B=sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B)
を用いる。ここで A=2n+17πA = \frac{2n+1}{7}\pi、B=π7B = \frac{\pi}{7} とすると、
2cos⁡2n+17πsin⁡π7=sin⁡(2n+17π+π7)−sin⁡(2n+17π−π7)2 \cos \frac{2n+1}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \left( \frac{2n+1}{7}\pi + \frac{\pi}{7} \right) - \sin \left( \frac{2n+1}{7}\pi - \frac{\pi}{7} \right)
=sin⁡2n+27π−sin⁡2n7π= \sin \frac{2n+2}{7}\pi - \sin \frac{2n}{7}\pi
(2) (1) の結果を利用して、cos⁡97π+cos⁡117π+cos⁡137π\cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\pi の値を計算する。
まず、S=cos⁡97π+cos⁡117π+cos⁡137πS = \cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\piとおく。
両辺に 2sin⁡π72 \sin \frac{\pi}{7} を掛けると、
2Ssin⁡π7=2cos⁡97πsin⁡π7+2cos⁡117πsin⁡π7+2cos⁡137πsin⁡π72S \sin \frac{\pi}{7} = 2 \cos\frac{9}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} + 2 \cos\frac{11}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} + 2 \cos\frac{13}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7}
(1) の結果を用いる。n=4,5,6n=4, 5, 6 とすると、
2cos⁡2n+17πsin⁡π7=sin⁡2n+27π−sin⁡2n7π2 \cos\frac{2n+1}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} = \sin \frac{2n+2}{7}\pi - \sin \frac{2n}{7}\pi
n=4n=4 のとき 2cos⁡97πsin⁡π7=sin⁡107π−sin⁡87π2 \cos \frac{9}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{10}{7}\pi - \sin \frac{8}{7}\pi
n=5n=5 のとき 2cos⁡117πsin⁡π7=sin⁡127π−sin⁡107π2 \cos \frac{11}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{12}{7}\pi - \sin \frac{10}{7}\pi
n=6n=6 のとき 2cos⁡137πsin⁡π7=sin⁡147π−sin⁡127π=sin⁡2π−sin⁡127π=−sin⁡127π2 \cos \frac{13}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{14}{7}\pi - \sin \frac{12}{7}\pi = \sin 2\pi - \sin \frac{12}{7}\pi = - \sin \frac{12}{7}\pi
これらを足し合わせると、
2Ssin⁡π7=(sin⁡107π−sin⁡87π)+(sin⁡127π−sin⁡107π)+(sin⁡2π−sin⁡127π)=−sin⁡87π2S \sin \frac{\pi}{7} = \left( \sin \frac{10}{7}\pi - \sin \frac{8}{7}\pi \right) + \left( \sin \frac{12}{7}\pi - \sin \frac{10}{7}\pi \right) + \left( \sin 2\pi - \sin \frac{12}{7}\pi \right) = - \sin \frac{8}{7}\pi
よって S=−sin⁡87π2sin⁡π7=−sin⁡(π+π7)2sin⁡π7=−−sin⁡π72sin⁡π7=12S = - \frac{\sin \frac{8}{7}\pi}{2 \sin \frac{\pi}{7}} = - \frac{\sin (\pi + \frac{\pi}{7})}{2 \sin \frac{\pi}{7}} = - \frac{- \sin \frac{\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡2n+27π−sin⁡2n7π\sin \frac{2n+2}{7}\pi - \sin \frac{2n}{7}\pi
(2) 12\frac{1}{2}

「解析学」の関連問題

放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \...

微分接線放物線三角関数定点
2025/4/16

放物線 $y=x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x=a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \th...

接線微分放物線三角関数定点
2025/4/16

画像に書かれた式と文章の意味を説明する問題です。 まず、式は次の通りです。 $\lim_{x \to a} (x-a) \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{...

極限微分微分可能性導関数
2025/4/15

問題文は、$ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a) $　が $f'(a)$ が極限値を持つことを意味するか、と問うています。これは微分可能性に関...

微分極限微分係数微分可能性
2025/4/15

画像に書かれた数式の意味と、それに関連する記述について解説を求める問題です。特に、極限の計算と、微分可能性との関係、そして導関数と極値の関係について問われています。

極限微分可能性導関数極値連続性
2025/4/15

画像に書かれている内容は「極限とは何ですか。」という質問です。

極限微積分
2025/4/15

「微分可能ではないとはどういうことですか」という質問です。

微分微分可能性不連続点角垂直な接線
2025/4/15

画像には、関数 $f(a)$ が $x$ に依存しない定数であるとき、$\lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ となることが書かれています。そして、この意味について質問がされています。...

極限関数定数関数lim
2025/4/15

問題は、関数 $f(a)$ が $x$ に依存しない定数であるとき、極限 $\lim_{x \to a} f(a)$ が $f(a)$ に等しくなることを述べています。

極限関数の極限定数関数
2025/4/15

関数 $f(x)$ が連続のとき、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ となることを用いると、$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = 0$ となるのはなぜか...

極限関数の連続性微積分
2025/4/15