SENSEI AI
About App

(1) $n$ を整数とするとき、積 $2\cos\frac{2n+1}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7}$ を2つの三角関数の和または差の形に直す。 (2) (1) の結果を利用して、$\cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\pi$ の値を求める。

解析学三角関数積和の公式三角関数の和三角関数の差
2025/4/15

1. 問題の内容

(1) nn を整数とするとき、積 2cos⁡2n+17πsin⁡π72\cos\frac{2n+1}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} を2つの三角関数の和または差の形に直す。
(2) (1) の結果を利用して、cos⁡97π+cos⁡117π+cos⁡137π\cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\pi の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 積を和の公式を利用する。三角関数の積和の公式から、
2cos⁡Asin⁡B=sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B)
を用いる。ここで A=2n+17πA = \frac{2n+1}{7}\pi、B=π7B = \frac{\pi}{7} とすると、
2cos⁡2n+17πsin⁡π7=sin⁡(2n+17π+π7)−sin⁡(2n+17π−π7)2 \cos \frac{2n+1}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \left( \frac{2n+1}{7}\pi + \frac{\pi}{7} \right) - \sin \left( \frac{2n+1}{7}\pi - \frac{\pi}{7} \right)
=sin⁡2n+27π−sin⁡2n7π= \sin \frac{2n+2}{7}\pi - \sin \frac{2n}{7}\pi
(2) (1) の結果を利用して、cos⁡97π+cos⁡117π+cos⁡137π\cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\pi の値を計算する。
まず、S=cos⁡97π+cos⁡117π+cos⁡137πS = \cos\frac{9}{7}\pi + \cos\frac{11}{7}\pi + \cos\frac{13}{7}\piとおく。
両辺に 2sin⁡π72 \sin \frac{\pi}{7} を掛けると、
2Ssin⁡π7=2cos⁡97πsin⁡π7+2cos⁡117πsin⁡π7+2cos⁡137πsin⁡π72S \sin \frac{\pi}{7} = 2 \cos\frac{9}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} + 2 \cos\frac{11}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} + 2 \cos\frac{13}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7}
(1) の結果を用いる。n=4,5,6n=4, 5, 6 とすると、
2cos⁡2n+17πsin⁡π7=sin⁡2n+27π−sin⁡2n7π2 \cos\frac{2n+1}{7}\pi \sin\frac{\pi}{7} = \sin \frac{2n+2}{7}\pi - \sin \frac{2n}{7}\pi
n=4n=4 のとき 2cos⁡97πsin⁡π7=sin⁡107π−sin⁡87π2 \cos \frac{9}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{10}{7}\pi - \sin \frac{8}{7}\pi
n=5n=5 のとき 2cos⁡117πsin⁡π7=sin⁡127π−sin⁡107π2 \cos \frac{11}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{12}{7}\pi - \sin \frac{10}{7}\pi
n=6n=6 のとき 2cos⁡137πsin⁡π7=sin⁡147π−sin⁡127π=sin⁡2π−sin⁡127π=−sin⁡127π2 \cos \frac{13}{7}\pi \sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{14}{7}\pi - \sin \frac{12}{7}\pi = \sin 2\pi - \sin \frac{12}{7}\pi = - \sin \frac{12}{7}\pi
これらを足し合わせると、
2Ssin⁡π7=(sin⁡107π−sin⁡87π)+(sin⁡127π−sin⁡107π)+(sin⁡2π−sin⁡127π)=−sin⁡87π2S \sin \frac{\pi}{7} = \left( \sin \frac{10}{7}\pi - \sin \frac{8}{7}\pi \right) + \left( \sin \frac{12}{7}\pi - \sin \frac{10}{7}\pi \right) + \left( \sin 2\pi - \sin \frac{12}{7}\pi \right) = - \sin \frac{8}{7}\pi
よって S=−sin⁡87π2sin⁡π7=−sin⁡(π+π7)2sin⁡π7=−−sin⁡π72sin⁡π7=12S = - \frac{\sin \frac{8}{7}\pi}{2 \sin \frac{\pi}{7}} = - \frac{\sin (\pi + \frac{\pi}{7})}{2 \sin \frac{\pi}{7}} = - \frac{- \sin \frac{\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡2n+27π−sin⁡2n7π\sin \frac{2n+2}{7}\pi - \sin \frac{2n}{7}\pi
(2) 12\frac{1}{2}

「解析学」の関連問題

媒介変数 $t$ を用いて $x = t^2 e^{2t}$ および $y = (t^2 + t + 1)e^t$ と表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を計算する問題です。画像の計算過程に...

微分媒介変数表示合成関数の微分
2025/7/26

与えられた関数 $y = (\log_e x)^x$ の微分 $y'$ を求める問題です。ここで、$\log_e x$ は自然対数を表します。

微分合成関数の微分対数関数自然対数
2025/7/26

関数 $y = (x+1)\log_e(x(x+1))$ の導関数 $y' = \frac{dy}{dx}$ を求めます。

導関数微分対数関数
2025/7/26

画像に示された数学の問題は、微分、n次導関数の表示、および極限を求める問題を含みます。具体的には以下の通りです。 (1) $(x^2 + x + 1)^5$ の微分 (2) $\sin^2 x - \...

微分n次導関数極限合成関数の微分ライプニッツの公式ロピタルの定理
2025/7/26

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{x}$ を計算する問題です。

極限微積分
2025/7/26

与えられた関数 $y = -\frac{3}{x^3}$ の微分を求めます。つまり、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

微分関数の微分べき乗の微分微積分
2025/7/26

与えられた2つの関数の極値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$ (2) $f(x, y) = xy(2 - x - y) = 2xy - ...

多変数関数の極値偏微分ヘッセ行列
2025/7/26

与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を微分して、$y'$を求める問題です。

微分関数べき乗微分公式
2025/7/26

関数 $y = (\log x)^x$ の導関数を求める問題です。

微分導関数対数関数
2025/7/26

関数 $y = \sin^{-1}x^2$ の極値を求める問題です。

微分逆三角関数極値関数の増減
2025/7/26