与えられた極限値を平均値の定理を用いて求める問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限値を平均値の定理を用いて求める問題です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$$

2. 解き方の手順

平均値の定理を適用します。関数 $f(t) = \sin t$ を考えます。

$x$ と $\sin x$ の間にある数 $c$ が存在して、

$$\frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \cos c$$

となる。ここで、 $c$ は $x$ と $\sin x$ の間の値です。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ なので、$c \to 0$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x} = \lim_{c \to 0} \cos c$$

$\cos c$ は $c=0$ で連続なので、

$$\lim_{c \to 0} \cos c = \cos 0 = 1$$

別の解法として、ロピタルの定理を用いることもできます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{x - \sin x}$$

この極限は不定形$\frac{0}{0}$の形なので、ロピタルの定理を適用できます。

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos(\sin x) \cdot \cos x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))}{1 - \cos x}$$

さらに、分子と分母に $(1 + \cos x)$ を掛けて、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))(1 + \cos x)}{\sin^2 x}$$

さらに変形すると、

$$\lim_{x \to 0} \cos x (1 + \cos x) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\sin x)}{\sin^2 x}$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \cos x (1 + \cos x) = 1 \cdot (1 + 1) = 2$ であり、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\sin x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\sin x)}{(\sin x)^2} \cdot \frac{(\sin x)^2}{x^2} \cdot \frac{x^2}{x^2}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\sin x)}{(\sin x)^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\sin x)}{(\sin x)^2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

したがって、

$$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

また、テイラー展開を利用すると

$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$

$$\sin(\sin x) = \sin x - \frac{(\sin x)^3}{6} + O(\sin^5 x) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{1}{6} (x - \frac{x^3}{6})^3 + O(x^5) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$$

$$\sin x - \sin(\sin x) = (x - \frac{x^3}{6}) - (x - \frac{x^3}{3}) + O(x^5) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$

$$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{6}) + O(x^5) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{\frac{x^3}{6}} = 1$$

3. 最終的な答え

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