$a > 1$ に対して、3つの曲線 $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = a \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) で囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする。 (1) $S(a)$ を $a$ の式で表せ。 (2) $\lim_{a \to 1+0} \frac{S(a)}{a-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 1$ に対して、3つの曲線 $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = a \cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) で囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする。

(1) $S(a)$ を $a$ の式で表せ。

(2) $\lim_{a \to 1+0} \frac{S(a)}{a-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = \sin x$ と $y = \cos x$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$\sin x = \cos x$ を解くと、 $x = \frac{\pi}{4}$ となります。

次に、$y = \cos x$ と $y = a \cos x$ の関係を考えます。$a > 1$ なので、$a \cos x > \cos x$ となります。

したがって、求める面積 $S(a)$ は、$\frac{\pi}{4}$ からある $x$ 座標 $x_0$ まで $a \cos x - \sin x$ を積分し、0 から $\frac{\pi}{4}$ まで $\cos x - \sin x$ を積分したものを足し合わせたものになります。ここで $x_0$ は $\cos x$ と $a \cos x$ の交点を表します。

ただし、問題文より3つの曲線で囲まれた部分の面積を求めるので、$a \cos x$は囲む図形の上側の曲線を表します。

$S(a) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (a \cos x - \sin x) dx$

積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (a \cos x - \sin x) dx = [a \sin x + \cos x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (a \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) - (a \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) = (a \cdot 1 + 0) - (a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = a - \frac{a \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = a - \frac{\sqrt{2}}{2}(a+1)$

したがって、$S(a) = (\sqrt{2} - 1) + a - \frac{\sqrt{2}}{2}(a+1) = \sqrt{2} - 1 + a - \frac{\sqrt{2}}{2}a - \frac{\sqrt{2}}{2} = a (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = a \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}-2}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} (a - 1)$

(2)

$\lim_{a \to 1+0} \frac{S(a)}{a-1} = \lim_{a \to 1+0} \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2} (a - 1)}{a-1} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S(a) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} (a - 1)$

(2) $\lim_{a \to 1+0} \frac{S(a)}{a-1} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$