$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{2}) > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{2}) > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2\theta + \frac{\pi}{2}$ とおく。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$0 \le 2\theta < 4\pi$

$\frac{\pi}{2} \le 2\theta + \frac{\pi}{2} < 4\pi + \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2} \le t < \frac{9\pi}{2}$

となる。

不等式 $\sin(t) > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。

$\sin(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ は、単位円上で考えると、$t = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。

$\frac{\pi}{2} \le t < \frac{9\pi}{2}$ の範囲で考えると、

$t = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{15\pi}{4}$

$\sin(t) > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ の範囲は、

$\frac{\pi}{2} \le t < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < t < \frac{13\pi}{4}$ または $\frac{15\pi}{4} < t < \frac{9\pi}{2}$

$t = 2\theta + \frac{\pi}{2}$ より、

$\frac{\pi}{2} \le 2\theta + \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{4}$

$0 \le 2\theta < \frac{3\pi}{4}$

$0 \le \theta < \frac{3\pi}{8}$

$\frac{7\pi}{4} < 2\theta + \frac{\pi}{2} < \frac{13\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{4} < 2\theta < \frac{11\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{8} < \theta < \frac{11\pi}{8}$

$\frac{15\pi}{4} < 2\theta + \frac{\pi}{2} < \frac{9\pi}{2}$

$\frac{13\pi}{4} < 2\theta < 4\pi$

$\frac{13\pi}{8} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \frac{3\pi}{8}$, $\frac{5\pi}{8} < \theta < \frac{11\pi}{8}$, $\frac{13\pi}{8} < \theta < 2\pi$