$a$ を正の実数の定数とする。曲線 $C: y = x^3 - 3a^2x$ 上の点 $P(t, t^3 - 3a^2t)$ における接線を $l$ とする。$C$ と $l$ の共有点で $P$ 以外の点を $Q$ とする。 (1) 点 $Q$ の座標を求めよ。 (2) 曲線 $C$ と接線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求めよ。 (3) 条件「点 $Q$ における曲線 $C$ の接線が $l$ に垂直である」を満たす正の実数 $t$ がただ1つ存在するとき、正の実数 $a$ の値を求めよ。また、そのときの正の実数 $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数の定数とする。曲線 $C: y = x^3 - 3a^2x$ 上の点 $P(t, t^3 - 3a^2t)$ における接線を $l$ とする。$C$ と $l$ の共有点で $P$ 以外の点を $Q$ とする。

(1) 点 $Q$ の座標を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と接線 $l$ によって囲まれた部分の面積を求めよ。

(3) 条件「点 $Q$ における曲線 $C$ の接線が $l$ に垂直である」を満たす正の実数 $t$ がただ1つ存在するとき、正の実数 $a$ の値を求めよ。また、そのときの正の実数 $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3a^2x$ を微分すると、 $y' = 3x^2 - 3a^2$ である。

点 $P(t, t^3 - 3a^2t)$ における接線 $l$ の方程式は、

$y - (t^3 - 3a^2t) = (3t^2 - 3a^2)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3a^2)x - 2t^3$

点 $Q$ の座標を求めるためには、$x^3 - 3a^2x = (3t^2 - 3a^2)x - 2t^3$ を解けばよい。

$x^3 - 3t^2x + 2t^3 = 0$

$(x - t)^2(x + 2t) = 0$

$x = t, -2t$

$P$ 以外の共有点である $Q$ の $x$ 座標は $-2t$ である。

$x = -2t$ を接線 $l$ の式に代入すると、$y = (3t^2 - 3a^2)(-2t) - 2t^3 = -8t^3 + 6a^2t$

よって、$Q(-2t, -2t^3 + 6a^2t)$.

(2) 曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{-2t}^t \{(3t^2 - 3a^2)x - 2t^3 - (x^3 - 3a^2x)\} dx$

$S = \int_{-2t}^t (-x^3 + 3t^2x - 2t^3) dx$

$S = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}t^2x^2 - 2t^3x]_{-2t}^t$

$S = (-\frac{1}{4}t^4 + \frac{3}{2}t^4 - 2t^4) - (-\frac{1}{4}(16t^4) + \frac{3}{2}t^2(4t^2) - 2t^3(-2t))$

$S = (-\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2)t^4 - (-4 + 6 + 4)t^4 = (-\frac{3}{4})t^4 - 6t^4 = \frac{27}{4}t^4$.

(3) 点 $Q(-2t, -8t^3 + 6a^2t)$ における曲線 $C$ の接線の傾きは、

$y' = 3x^2 - 3a^2$ に $x = -2t$ を代入すると、 $3(-2t)^2 - 3a^2 = 12t^2 - 3a^2$

接線 $l$ の傾きは $3t^2 - 3a^2$

条件より、$(12t^2 - 3a^2)(3t^2 - 3a^2) = -1$

$36t^4 - 45a^2t^2 + 9a^4 = -1$

$36t^4 - 45a^2t^2 + (9a^4 + 1) = 0$

$t^2$ についての二次方程式とみると、$t^2 > 0$ がただ1つ存在するための条件は、

$D = (45a^2)^2 - 4(36)(9a^4 + 1) = 0$

$2025a^4 - 1296a^4 - 144 = 0$

$729a^4 = 144$

$a^4 = \frac{144}{729} = \frac{16}{81}$

$a^2 = \frac{4}{9}$

$a = \frac{2}{3}$ (∵ $a$ は正の実数)

このとき、$36t^4 - 45 \times \frac{4}{9} t^2 + 9 \times \frac{16}{81} + 1 = 0$

$36t^4 - 20t^2 + \frac{16}{9} + 1 = 0$

$36t^4 - 20t^2 + \frac{25}{9} = 0$

$(6t^2 - \frac{5}{3})^2 = 0$

$6t^2 = \frac{5}{3}$

$t^2 = \frac{5}{18}$

$t = \frac{\sqrt{10}}{6}$ (∵ $t$ は正の実数)

3. 最終的な答え

(1) $Q(-2t, -2t^3 + 6a^2t)$

(2) $\frac{27}{4}t^4$

(3) $a = \frac{2}{3}$, $t = \frac{\sqrt{10}}{6}$