$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 3\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 5\cos^2\theta$ の最大値と最小値を求めます。

解析学三角関数最大値最小値三角関数の合成
2025/4/15

1. 問題の内容

0θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、関数 y=3sin2θ+23sinθcosθ+5cos2θy = 3\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 5\cos^2\theta の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、yy を変形します。
三角関数の倍角の公式 sin2θ=1cos2θ2\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}, cos2θ=1+cos2θ2\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}, sinθcosθ=12sin2θ\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta を用います。
y=3(1cos2θ2)+23(12sin2θ)+5(1+cos2θ2)y = 3(\frac{1-\cos2\theta}{2}) + 2\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin2\theta) + 5(\frac{1+\cos2\theta}{2})
y=3232cos2θ+3sin2θ+52+52cos2θy = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta + \frac{5}{2} + \frac{5}{2}\cos2\theta
y=3+52+3+52cos2θ+3sin2θy = \frac{3+5}{2} + \frac{-3+5}{2}\cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta
y=4+cos2θ+3sin2θy = 4 + \cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta
y=4+2(12cos2θ+32sin2θ)y = 4 + 2(\frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta)
y=4+2(sinπ6cos2θ+cosπ6sin2θ)y = 4 + 2(\sin\frac{\pi}{6}\cos2\theta + \cos\frac{\pi}{6}\sin2\theta)
y=4+2sin(2θ+π6)y = 4 + 2\sin(2\theta + \frac{\pi}{6})
ここで、0θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、02θ<4π0 \le 2\theta < 4\pi なので、
π62θ+π6<4π+π6\frac{\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{6} < 4\pi + \frac{\pi}{6} となります。
sin(2θ+π6)\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) の最大値は1, 最小値は-1です。
最大値をとるとき、sin(2θ+π6)=1\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = 1 なので、
2θ+π6=π2+2nπ2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pinnは整数)
2θ=π2π6+2nπ=π3+2nπ2\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{\pi}{3} + 2n\pi
θ=π6+nπ\theta = \frac{\pi}{6} + n\pi
0θ<2π0 \le \theta < 2\pi より θ=π6,7π6\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} のとき最大値をとります。
ymax=4+2(1)=6y_{max} = 4 + 2(1) = 6
最小値をとるとき、sin(2θ+π6)=1\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = -1 なので、
2θ+π6=3π2+2nπ2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pinnは整数)
2θ=3π2π6+2nπ=8π6+2nπ=4π3+2nπ2\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{8\pi}{6} + 2n\pi = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi
θ=2π3+nπ\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi
0θ<2π0 \le \theta < 2\pi より θ=2π3,5π3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} のとき最小値をとります。
ymin=4+2(1)=2y_{min} = 4 + 2(-1) = 2

3. 最終的な答え

最大値:6
最小値:2

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