$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 3\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 5\cos^2\theta$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 3\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 5\cos^2\theta$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を変形します。

三角関数の倍角の公式 $\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$, $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta$ を用います。

$y = 3(\frac{1-\cos2\theta}{2}) + 2\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin2\theta) + 5(\frac{1+\cos2\theta}{2})$

$y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta + \frac{5}{2} + \frac{5}{2}\cos2\theta$

$y = \frac{3+5}{2} + \frac{-3+5}{2}\cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta$

$y = 4 + \cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta$

$y = 4 + 2(\frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta)$

$y = 4 + 2(\sin\frac{\pi}{6}\cos2\theta + \cos\frac{\pi}{6}\sin2\theta)$

$y = 4 + 2\sin(2\theta + \frac{\pi}{6})$

ここで、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$0 \le 2\theta < 4\pi$ なので、

$\frac{\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{6} < 4\pi + \frac{\pi}{6}$ となります。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{6})$ の最大値は1, 最小値は-1です。

最大値をとるとき、$\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$ なので、

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$は整数）

$2\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{6} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ のとき最大値をとります。

$y_{max} = 4 + 2(1) = 6$

最小値をとるとき、$\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = -1$ なので、

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$は整数）

$2\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{8\pi}{6} + 2n\pi = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき最小値をとります。

$y_{min} = 4 + 2(-1) = 2$

3. 最終的な答え

最大値：6

最小値：2