$\sin(3\alpha)$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sin(3\alpha)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を利用して $\sin(3\alpha)$ を変形します。

$\sin(3\alpha) = \sin(2\alpha + \alpha)$ と考えます。

加法定理より、

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

なので、

$\sin(2\alpha + \alpha) = \sin(2\alpha)\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)\sin(\alpha)$

次に、$\sin(2\alpha)$ と $\cos(2\alpha)$ をそれぞれ2倍角の公式を用いて展開します。

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

これらを代入すると、

$\sin(3\alpha) = (2\sin(\alpha)\cos(\alpha))\cos(\alpha) + (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))\sin(\alpha)$

$\sin(3\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)\sin(\alpha) - \sin^3(\alpha)$

$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha) - \sin^3(\alpha)$

さらに、$\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ を用いて、全て $\sin(\alpha)$ で表します。

$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha)(1 - \sin^2(\alpha)) - \sin^3(\alpha)$

$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 3\sin^3(\alpha) - \sin^3(\alpha)$

$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$

3. 最終的な答え

$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$