関数 $f(x)$ が与えられており、$x=2$ で連続となるように定数 $a$ の値を定める問題です。関数 $f(x)$ は次のように定義されています。 $ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & (x \neq 2) \\ a & (x = 2) \end{cases} $

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられており、$x=2$ で連続となるように定数 $a$ の値を定める問題です。関数 $f(x)$ は次のように定義されています。

$$

f(x) =

\begin{cases}

\frac{x^2 - 4}{x - 2} & (x \neq 2) \\

a & (x = 2)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=2$ で連続であるためには、以下の条件が成り立つ必要があります。

$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$

まず、$x \neq 2$ のときの $f(x)$ の極限を求めます。

$x \neq 2$ であるので、$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ となります。

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x+2$

したがって、

$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$

次に、$f(2)$ の値を考えます。問題文より、$f(2) = a$ です。

関数が $x=2$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ が成り立つ必要があります。

したがって、$4 = a$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 4$