(1) $(x+2)^7$ の展開式における $x^4$ の係数を求めよ。 (2) $(x^2-1)^7$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x+2)^7$ の展開式における $x^4$ の係数を求めよ。

(2) $(x^2-1)^7$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$(x+2)^7$ の展開式の一般項は、

$${}_7 C_r x^r 2^{7-r}$$

$x^4$ の係数を求めたいので、$r=4$ とすると、

$${}_7 C_4 x^4 2^{7-4} = {}_7 C_4 x^4 2^3$$

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

よって、$x^4$ の係数は、

$35 \times 2^3 = 35 \times 8 = 280$

(2) $(x^2-1)^7$ の展開式の一般項は、

$${}_7 C_r (x^2)^r (-1)^{7-r} = {}_7 C_r x^{2r} (-1)^{7-r}$$

$x^3$ の係数を求めたいので、$2r=3$ となる $r$ を探す。しかし、$r$ は整数であるため、$2r=3$ を満たす整数 $r$ は存在しない。

したがって、$x^3$ の項は存在しないので、係数は0である。

3. 最終的な答え

(1) 280

(2) 0