(1) $\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ を計算せよ。 (2) $\frac{2}{(n-2)n} + \frac{2}{n(n+2)} + \frac{2}{(n+2)(n+4)}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ を計算せよ。

(2) $\frac{2}{(n-2)n} + \frac{2}{n(n+2)} + \frac{2}{(n+2)(n+4)}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1) 各項を部分分数分解する。

$\frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

これらの和を計算する。

$\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2})$

$= \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}$

$= \frac{(x+2) - (x-1)}{(x-1)(x+2)}$

$= \frac{x+2-x+1}{(x-1)(x+2)}$

$= \frac{3}{(x-1)(x+2)}$

(2) 各項を部分分数分解する。

$\frac{2}{(n-2)n} = \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}$

$\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$

$\frac{2}{(n+2)(n+4)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+4}$

これらの和を計算する。

$\frac{2}{(n-2)n} + \frac{2}{n(n+2)} + \frac{2}{(n+2)(n+4)} = (\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) + (\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+4})$

$= \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+4}$

$= \frac{(n+4) - (n-2)}{(n-2)(n+4)}$

$= \frac{n+4-n+2}{(n-2)(n+4)}$

$= \frac{6}{(n-2)(n+4)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{(x-1)(x+2)}$

(2) $\frac{6}{(n-2)(n+4)}$