(1) $\frac{x-1+\frac{2}{x+2}}{x+1-\frac{2}{x+2}}$ を簡略化する。 (2) $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x+1}}}$ を簡略化する。

1. 問題の内容

(1) $\frac{x-1+\frac{2}{x+2}}{x+1-\frac{2}{x+2}}$ を簡略化する。

(2) $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x+1}}}$ を簡略化する。

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母をそれぞれ計算し、その後で割り算を行う。

分子: $x-1+\frac{2}{x+2} = \frac{(x-1)(x+2)+2}{x+2} = \frac{x^2+2x-x-2+2}{x+2} = \frac{x^2+x}{x+2}$

分母: $x+1-\frac{2}{x+2} = \frac{(x+1)(x+2)-2}{x+2} = \frac{x^2+2x+x+2-2}{x+2} = \frac{x^2+3x}{x+2}$

$\frac{x-1+\frac{2}{x+2}}{x+1-\frac{2}{x+2}} = \frac{\frac{x^2+x}{x+2}}{\frac{x^2+3x}{x+2}} = \frac{x^2+x}{x^2+3x} = \frac{x(x+1)}{x(x+3)} = \frac{x+1}{x+3}$

(2) まず一番下の分数から計算する。

$1 + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1+1}{x+1} = \frac{x+2}{x+1}$

次にその逆数を計算する。

$\frac{1}{1 + \frac{1}{x+1}} = \frac{1}{\frac{x+2}{x+1}} = \frac{x+1}{x+2}$

次に $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x+1}}$ を計算する。

$1 + \frac{x+1}{x+2} = \frac{x+2+x+1}{x+2} = \frac{2x+3}{x+2}$

最後に $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x+1}}}$を計算する。

$\frac{1}{\frac{2x+3}{x+2}} = \frac{x+2}{2x+3}$

$1+\frac{x+2}{2x+3} = \frac{2x+3+x+2}{2x+3} = \frac{3x+5}{2x+3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x+1}{x+3}$

(2) $\frac{3x+5}{2x+3}$