2次式 $x^2 + 2x + 3$ を複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

2次式 $x^2 + 2x + 3$ を複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2x + 3 = 0$ の解を求めます。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a=1$, $b=2$, $c=3$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{2}i$

したがって、2つの解は $x_1 = -1 + \sqrt{2}i$ と $x_2 = -1 - \sqrt{2}i$ となります。

因数分解は

$x^2 + 2x + 3 = (x - x_1)(x - x_2)$

$x^2 + 2x + 3 = (x - (-1 + \sqrt{2}i))(x - (-1 - \sqrt{2}i))$

$x^2 + 2x + 3 = (x + 1 - \sqrt{2}i)(x + 1 + \sqrt{2}i)$

3. 最終的な答え

$(x + 1 - \sqrt{2}i)(x + 1 + \sqrt{2}i)$