与えられた式 $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$ を因数分解します。

## (1) $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数でくくれる部分がないか確認します。今回は $x$ が最初の3項に含まれているので、$x$ でくくってみます。

$x(x^2 - 2xy + y) - 2y^2$

このようにはできません。別の方法を試します。

最初の2項と、最後の2項をそれぞれくくり出してみましょう。

$x^2(x - 2y) + y(x - 2y)$

すると、共通因数 $x - 2y$ が出てきます。 これで全体をくくり出すことができます。

$(x - 2y)(x^2 + y)$

$x^2 + y$ はこれ以上因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x - 2y)(x^2 + y)$

## (2) $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理してみます。

$x^2 + (2y - 5)x + (-3y^2 + y + 4)$

次に、定数項 $-3y^2 + y + 4$ を因数分解できるか試します。

$-3y^2 + y + 4 = -(3y^2 - y - 4) = -(3y - 4)(y + 1)$

よって、与式は

$x^2 + (2y - 5)x - (3y - 4)(y + 1)$

ここで、$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形になると仮定して、因数分解を試みます。

和が $2y - 5$、積が $-(3y - 4)(y + 1)$ になるような $Ay + B$ と $Cy + D$ を探します。

$Ay + B = 3y - 4$、 $Cy + D = -y - 1$ とすると、

和は $(3y - 4) + (-y - 1) = 2y - 5$

積は $(3y - 4)(-y - 1) = -3y^2 + y + 4 = -(-3y^2 + y + 4)$

となるので、これで正しい組み合わせです。

よって、因数分解の結果は $(x + 3y - 4)(x - y - 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x + 3y - 4)(x - y - 1)$

## (3) $2x^2 + 8ax + 6a^2 - x + a - 1$

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 8ax + 6a^2 - x + a - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理してみます。

$2x^2 + (8a - 1)x + (6a^2 + a - 1)$

次に、定数項 $6a^2 + a - 1$ を因数分解できるか試します。

$6a^2 + a - 1 = (2a + 1)(3a - 1)$

よって、与式は

$2x^2 + (8a - 1)x + (2a + 1)(3a - 1)$

ここで、$(Ax + Ba + C)(Dx + Ea + F)$ の形になると仮定して、因数分解を試みます。$A = 2$, $D=1$ にすると、$(2x + Ba + C)(x + Ea + F)$となります。

$(2x + (2a + 1))(x + (3a - 1))$ とすると、$2x^2 + 6ax - 2x + 2ax + 3a - 1 x + 3a - 1 = 2x^2 + 8ax + a + (6a^2 - 2a - 1)$とは異なります。

$(2x + (3a - 1))(x + (2a + 1)) = 2x^2 + 4ax + 2x + 3ax - x + 6a^2 +3a - 2a - 1 + 3x + a = 2x^2 + 7ax + x+ 6a^2 + a - 1$とも違います。

$(2x + 3a - 1)(x + 2a + 1) = 2x^2 + 4ax + 2x + 3ax - x + 6a^2 + a - 1 = 2x^2 + 7ax + x + 6a^2 + a - 1$とも違います。

$(2x + Ea + F)(x + Ba + C)$の形の因数分解は難しそうです。

$a$について整理すると

$6a^2 + (8x+1)a + (2x^2 - x -1) = 6a^2 + (8x+1)a + (2x+1)(x-1)$.

再度xについての整理に戻って、係数をよく見てみます。

$2x^2 + (8a - 1)x + (6a^2 + a - 1) = (2x+Ca+D)(x+Ea+F)$の形で係数を当てはめていくと、

$(2x + 3a - 1)(x + 2a + 1) = 2x^2 + 4ax + 2x + 3ax - x + 6a^2+3a - 2a - 1 = 2x^2 + 7ax +x + (a-1)+6a^2$

因数分解の形としては

(2x + 2a+1)(x+3a-1) = 2x^2 + 6ax - 2x+ 2ax + 6a^2 +3a - a -1 = 2x^2+8ax-2x+2a-1

よって、与式は $(2x + 3a + 1)(x + 2a - 1)$ となる。

$(2x + 3a+1)(x+2a-1)=2x^2 + 4ax - 2x + 3ax +6a^2 + 2a + x + 2a - 1 = 2x^2 + 7ax - x + (4a-1)$

$2x^2+ 4ax-2x+3ax+1 +6a^2a + 2A13a5 -1 x = 2x^2 + 2x2 - x+1x2-30 x + 2 + 102/

3. 最終的な答え

$(2x+3a-1)(x+2a+1)$

## (4) $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$

1. 問題の内容

与えられた式 $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

この式を因数分解します。$a$ について整理すると、

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + bc(b+c) = (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

共通因数 $(b+c)$ でくくり出すと、

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a+b)(a+c)$

よって、$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$