$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y - 1)^2$

## 問題の解答

### (1) 問題の内容

式 $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解します。

### (1) 解き方の手順

1. 後半の項を $-(y^2 - 2y + 1)$ と変形し、平方の形にします。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y - 1)^2$

2. $4x^2$ を $(2x)^2$ と見て、全体を二乗の差の形にします。

$(2x)^2 - (y - 1)^2$

3. 二乗の差の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を適用します。

$(2x + (y - 1))(2x - (y - 1)) = (2x + y - 1)(2x - y + 1)$

### (1) 最終的な答え

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

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### (2) 問題の内容

式 $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$ を因数分解します。

### (2) 解き方の手順

1. $x^2 - x = A$ と置換します。すると、式は $A^2 - 8A + 12$ となります。

2. この式を因数分解します。

$A^2 - 8A + 12 = (A - 2)(A - 6)$

3. $A$ を $x^2 - x$ に戻します。

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$

4. それぞれの括弧内をさらに因数分解します。

$(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x + 1)$

$(x^2 - x - 6) = (x - 3)(x + 2)$

### (2) 最終的な答え

$(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$

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### (3) 問題の内容

式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解します。

### (3) 解き方の手順

1. 共通因数でまとめます。

$x^2(x + a) - (x^2 + a)$

2. 項の順番を入れ替えます。

$x^3 - x^2 + ax^2 - a$

3. 共通因数でまとめます。

$x^2(x - 1) + a(x^2 - 1)$

4. $x^2 - 1$ を $(x+1)(x-1)$ に因数分解します。

$x^2(x - 1) + a(x + 1)(x - 1)$

5. 共通因数 $(x-1)$ でくくります。

$(x-1)[x^2 + a(x+1)]$

$(x-1)(x^2 + ax + a)$

### (3) 最終的な答え

$(x - 1)(x^2 + ax + a)$

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### (4) 問題の内容

式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

### (4) 解き方の手順

1. $x$ について整理します。

$6x^2 + (7y + 1)x + (2y^2 - 2)$

2. 定数項を因数分解します。

$2y^2 - 2 = 2(y^2 - 1) = 2(y - 1)(y + 1)$

3. 全体を因数分解します。$(ax + by + c)(dx + ey + f)$の形を考えます。

$(2x + y + 1)(3x + 2y - 2)$

### (4) 最終的な答え

$(2x + y + 1)(3x + 2y - 2)$

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### (5) 問題の内容

式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解します。

### (5) 解き方の手順

1. 式を因数分解しやすいように並び替えます。まず$x$について整理します。

$3x^2 + (2y + 7)x + (-y^2 + 3y + 4)$

2. 定数項である$-y^2 + 3y + 4$を因数分解します。

$-y^2 + 3y + 4 = -(y^2 - 3y - 4) = -(y - 4)(y + 1) = (4 - y)(y + 1)$

3. 全体を因数分解します。$(ax + by + c)(dx + ey + f)$の形を考えます。

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$

### (5) 最終的な答え

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$

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### (6) 問題の内容

式 $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$ を因数分解します。

### (6) 解き方の手順

1. 展開します。

$a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc$

2. 整理します。

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

3. $a$ について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

4. $(b^2 + 2bc + c^2)$を $(b+c)^2$ で置き換え、$(b^2c + bc^2)$を $bc(b+c)$ で置き換えます。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

5. 共通因数 $(b+c)$ でくくります。

$(b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

6. 括弧の中を因数分解します。

$(b+c)(a+b)(a+c)$

### (6) 最終的な答え

$(a + b)(b + c)(c + a)$

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### (7) 問題の内容

式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解します。

### (7) 解き方の手順

1. 展開します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

2. $a$ について整理します。

$(c - b)a^2 + (b^2 - c^2)a + (bc^2 - cb^2)$

3. $(b^2 - c^2)$ を $(b+c)(b-c)$ で置き換え、 $(bc^2 - cb^2)$ を $bc(c-b)$ で置き換えます。

$(c - b)a^2 + (b + c)(b - c)a + bc(c - b)$

4. $(c-b)$ を共通因数として括りだします。

$(c - b)[a^2 - (b + c)a + bc]$

5. 括弧の中身を因数分解します。

$(c - b)(a - b)(a - c)$

6. $(c - b)$ を $-(b - c)$ に変形します。

$-(b - c)(a - b)(a - c)$

7. $(a - c)$ を $-(c - a)$ に変形します。

$(b - c)(a - b)(c - a)$

### (7) 最終的な答え

$-(a - b)(b - c)(c - a)$ または $(a - b)(b - c)(c - a)$