問題6は、$ (x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z) $ を展開したときの $ xyz $ の項の係数を求める問題です。 問題7(1)は、$ (x^2+1)^2 $ を展開する問題です。 問題7(2)は、(1)の結果を利用して、$ x^4+x^2+1 $ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

問題6は、$(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求める問題です。

問題7(1)は、$(x^2+1)^2$ を展開する問題です。

問題7(2)は、(1)の結果を利用して、$x^4+x^2+1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

問題6:

$xyz$ の項を作るには、各括弧からそれぞれ $x, y, z$ を一つずつ選ぶ必要があります。

それぞれの括弧から文字を選ぶ場合の組み合わせをすべて書き出し、係数を掛け合わせます。

* $x \cdot 3y \cdot (-3z) = -9xyz$

* $x \cdot (-z) \cdot (-y) = xyz$

* $y \cdot 2x \cdot (-3z) = -6xyz$

* $y \cdot (-z) \cdot 4x = -4xyz$

* $2z \cdot 2x \cdot (-y) = -4xyz$

* $2z \cdot 3y \cdot 4x = 24xyz$

これらの係数を合計します。

$-9 + 1 - 6 - 4 - 4 + 24 = 2$

問題7(1):

$(x^2+1)^2$ を展開します。

$(x^2+1)^2 = (x^2+1)(x^2+1) = x^4 + 2x^2 + 1$

問題7(2):

$x^4+x^2+1$ を因数分解します。 (1)の結果を利用します。

$x^4+x^2+1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2$

これは平方の差の形なので、因数分解できます。

$(x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$

3. 最終的な答え

問題6: $2$

問題7(1): $x^4 + 2x^2 + 1$

問題7(2): $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$